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LOGO 随机过程 第五章 布朗运动  1 布朗运动的基本概念  2 布朗运动的首中时及最大值  3 布朗运动的应用 1 基本概念 • 最初由英国生物学家布朗(Brown)于1827年提出这种物理现 背 象； 景 • 1905年爱因斯坦首次对这一现象的物理规律给出数学描述； 定 • 1918年维纳(Wiener)运用数学理论严格描述这种无规则运 义 动，并用随机过程理论和概率理论建立了数学模型。因此 布朗运动又称维纳过程； 性 • 是具有连续时间参数和连续状态空间的一类随机过程； 质 • 在金融领域的证券市场中 （如债券、期权等），有着极其 重要的应用。将布朗运动与股票价格行为联系在一起，进 推 而建立起维纳过程的数学模型是本世纪的一项具有重要意 广 义的金融创新，在现代金融数学中占有重要地位。 中南民族大学经济学院 2 《随机过程》第5章-布朗运动 1 基本概念 定义：若随机过程* , ≥ 0+满足： 背 增量服从 景 (1) 关于是连续函数 正态分布 (2) * , ≥ 0+具有平稳独立增量 定 2 (3) ∀, 0, . . + − ~ (0, ) 义 则称随机过程* , ≥ 0+为布朗运动 （或维纳过程）。 性 当 = 1时，称随机过程* , ≥ 0+ 为标准布朗运动，记为 质 * , ≥ 0+ 推 • 若 0 = 0，则∀ 0, . . ~ (0, 2) 广 • 若 0 = 0，则∀ 0, . . ~ (0, ) 中南民族大学经济学院 3 《随机过程》第5章-布朗运动 1 基本概念 例：设布朗运动 ~ (0, 2) ，求其均值、方差、协方差及相关函数。 背 解： 景 由布朗运动定义可得： = = 0, 2 = = 2 () () 定 义 当1 2 时，由布朗运动的独立增量性及 = 0，可得： , = ( ) = − + 2 ( ) 1 2 1 2 1 2 1 1 = − (0) − + 2 ( ) 性 1 2 1 1 2 质