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第六章 共(保)形映射
前面几章,我们通过导数、积分、级数等概念以及它们的性质与运算着重讨论了解析函数的性质和应用。本章,我们将从几何的角度对解析函数的性质和应用进行讨论。
在第一章我们已经讲过函数在几何上可以看做把平面上的一个点集(定义域)变到平面上的一个点集(值域)的变换(或映射)。由于解析函数具有良好的分析和运算性质,相应的解析函数构成的映射也会具有比较好的特性。
解析函数所确定的映射是共形映射,它是复变函数论中最重要的概念之一。共形映射之所以重要,原因在于它能把比较复杂区域上所讨论的问题转到比较简单区域上去讨论。并且与物理中的许多概念有密切的联系,而且对物理学中许多领域有重要的应用。如应用保形映射成功地解决了流体力学与空气动力学、弹性力学、磁场、电场与热场理论以及其他方面的许多实际问题。不但如此,20世纪中期亚音速及超音速飞机的研制促成了从保形映射理论到拟保形映射理论的发展。
下面我们先分析解析函数所构成的映射的特性,由此引出共形映射这一重要概念;然后进一步研究分式线性函数和几个初等函数所构成的共形映射的性质。
第一节 共形映射的概念
1、一般概念:
我们主要研究单叶解析函数的映射性质。
设函数w=f(z)在区域内解析,并且在任意不同点,函数所取的值不同。那么我们就称它为区域的单叶解析函数,简称单叶函数。
注解1、单叶函数是确定一个单射的解析函数。
可以证明:若函数f(z)在区域D内单叶解析,那么在D内任一点,
注解2、如果一个函数在区域D内单叶解析,那么它的导数在D内任意一点不等于零;
注解3、反之,这个定理的逆定理不成立,例如的导数在z平面上任意一点不为零,而这个函数在整个z平面上不是单叶的。
但可以证明:如果函数w=f(z)在解析,并且,那么f(z)在的一个邻域内单叶解析。
2、导数的几何意义:
设函数w=f(z)是区域D内的单叶解析函数。即w=f(z) 在区域D内解析,,且。
考虑过的一条简单有向光滑曲线C: 设,且。
作通过曲线C上之点及的割线,由于割线的方向与向量的方向一致,可以看出:只要当趋近于时,向量与实轴的夹角连续变动趋近于极限,那么当趋近于时,割线确有极限位置,即为曲线C在的切线的位置。但由光滑曲线的条件,极限
存在。因此下列极限也存在:
即为曲线C在处切线与实轴的夹角,在这里幅角是连续变动的,并且极限式两边幅角的数值是相应地适当选取的。
规定:
1.就是曲线C在的切线正向与实轴的夹角。
2.相交于一点的两条曲线正向之间的夹角就是在交点处的两条切线正向之间的夹角。
函数w=f(z)把简单光滑曲线C映射成过的一条简单曲线:
由于,可见也是一条光滑曲线;
它在的切线与实轴的夹角是
即
因此,在处切线与实轴的夹角及C在处切线与实轴的夹角相差。这一数值与曲线C的形状及在处切线的方向无关。
假定上图中的x轴与u轴,y轴与v轴的正向相同,则曲线C的切线正向与映射过后的的切线的正向之间的夹角可理解为曲线C经过w=f(z)映射后在处的转动角,即为曲线C经过w=f(z)映射后在处的转动角,转动角的大小和方向与曲线C的形状与方向无关。转动角不变性
设在D内过还有一条简单光滑曲线,函数w=f(z)把它映射成一条简单光滑曲线。和上面一样,与在及处切线与实轴的夹角分别是
及
所以,在处曲线到曲线的夹角恰好等于在处曲线C到曲线的夹角:
因此,用单叶解析函数作映射时,曲线间的夹角的大小及方向保持不变,我们称这个性质为单叶解析函数所作映射的保角性。
上面是对单叶解析函数的导数的幅角所作的几何解释,下面再说明它的模的几何意义。根据假设,我们有
由于是比值的极限,它可以近似地表示这种比值。在w=f(z)所作映射下,及分别表示z平面上向量及w平面上向量的长度,这里向量及的起点分别取在及。当较小时,近似地表示通过映射后,对的伸缩倍数,而且这一倍数与向量的方向无关。我们把称为曲线C在点的伸缩率。
是经过w=f(z)映射通过的任何曲线C在点的伸缩率,与曲线C的形状及方向无关。伸缩率不变性
现在用几何直观来说明单叶解析函数所作映射的意义。设w=f(z)是在区域D内解析的函数,,那么w=f(z)把的一个邻域内任一小三角形映射成w平面上含的一个区域内的小曲边三角形,此曲边小三角形以为其一个顶点。这两个三角形的对应角相等,对应边近似成比例。因此这两个三角形近似地是相似形。
此外,w=f(z)还把z平面上半径充分小的圆近似地映射成圆
所以,我们把单叶解析函数所确定的映射称为共形映射,或称为保形映射或保角映射。它在每一点保角,并且具有一定的伸缩率。
第二节 分式线性映射
分式线性映射是共形映射中比较简单但又很重要的一类映射。
它由下面形状的分式线性函数定义:
其中是复常数,而且。否则,有
不满足共形映射的条件,即此时不能
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