基础代数第二章.pdf

第二章：群 §1. 群的同态定理 §2. 循环群 §3. 单群 §5. 群的自同构群 §6. 群在集合上的作用 2012/10/9 1 §1 群的同态定理 定理 1:设 为群G 的一个正规子群，而 ：G G / N 为自然同 N  态， 建立了G 中所有包含N 的子群与G / N 的全部子 群之间的一个一一对应，在这个对应下，正规子群与正 规子群相对应。如果H G ，H N ，那么 G / H (G / N) /( H / N) . 定理 2:设 ： 为一满同态，而 ，于是 给出了  G G ker() K  G 中所有包含K 的子群与G 中全部子群之间的一个一 一对应，即对于H ＜G ，H K ，  . H (H ) H ＜G 在这个对应下，H G 当且仅当  .如果H G ， H G ， ，那么有  . H K （H ）H G / H G / H 2012/10/9 1 群的同态定理 2  同态 建立了一个一一对应： 群G 中所有包含N 的子群 与 商群G / N 的全部子群 由商群的定义，对于G 中任何一个包含N 的子群H ， (H )显然是G / N 中一个子群. 另一方面，对于G / N 中的子群H ，我们定义 1  (H ) x G (x ) H . 1 因为  (H ) H 中的单位元素就是陪集N ，所以容易看出， 不但是 的一个子群，而且一定包含N . G 由于是满同态，所以 1 G/N中任一子群形如 ( (H )) H . (H ), N H G 2012/10/9 1 群的同态定理 3 形如形如(((HHH )))的子群定为的子群定为GG的包含的包含NN的子群的子群HH的的 的的象象 1 由 的定义可知，对于G 的任意子群H ，有 1  ((H )) H . 1 我们来证明，当H N 时， ((H ))