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多元统计分析第八章_典型相关分析
第8 章 典型相关分析
典型相关分析是用来描述两组随机变量(两个随机向量)间关系的统计分析
方法。两组随机向量,各含有许多随机变量,能否用少量随机变量来描述其相关
性?例如为了研究饲料与荤菜价格的关系,统计若干年玉米、大豆、稻子、麦子、
鱼粉以及猪肉、牛肉、羊肉、鸡肉、鸡蛋、鸭肉、鸭蛋的价格,分析饲料与荤菜
价格的关系时,发现单独一种饲料和单独一种肉蛋禽价格关系并不密切( 由显著性
检验可见) ,但饲料的某种综合价格则与肉蛋禽综合价格的关系很密切。把饲料价
格看成一组随机变量,肉蛋禽价格看成另一组随机变量,找这两组随机变量的线
性组合,使之相关系数平方最大,从而分析两组随机变量间的关系,判定这两组
随机变量是否有关联,这就是典型相关分析。
8.1 典型相关分析数学模型
设随机向量X (x ,...x ) 与Y (y ,...y ) 的方差 , 存在,协方差为
1 p 1 p xx yy
。 为常数向量。则
cov(X , Y) xy a,b
corr(a X ,b Y ) a b /(a ab b)1/ 2 ,
xy xx yy
为了计算确定性,限制D(aX ) a a 1, D(bY) b b 1 。
xx yy
定义8.1 设a a ,b b 在条件:
1 1
D(aX ) a a 1, D(bY) b b 1
xx yy
下使 大,则称v a X , w b Y 为第一对典型相关变量,
cov(a X b, Y ) 1 1 1 1
cov(a X ,b Y ) 称为第一典型相关系数。
p
由定义可见,v ,w 尽可能多地反映原来 对随机变量相关的信息。第一对
1 1
典型相关变量往往不能完全反映随机向量间的关系,必须建立其它典型相关变量,
它应当最能反映随机向量间的关系,但是它应当与第一对典型相关变量不相关(不
包含第一对典型相关变量的信息)。
a a b b
定义8.1′ 若常数向量 = 2 , = 2 在条件:
D(a X ) a a 1 ,D(bY) b b 1 ;
xx yy
cov(v ,aX ) 0 ,cov(w ,bY) 0
1 1
1
下使cov(a X ,b Y ) 最大,则称v a X , w b Y 为第二对典型相关变量,
2 2 2 2
称为第二典型相关系数。若常数向量 = , = 在条件:
cov(a X ,b Y ) a a3
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