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第二章 动力学基础 §2.1 质点系统动力学[5] 2.1.1 基本概念 一、约束及其分类 1. 约束和约束方程 在力学中，限制非自由质点系中各个质点的位置和运动的各种条件称为约束。质点 ．． 系可分为自由系统和非自由系统。不受约束作用的系统称为自由系统。如果把太阳系中 ．．．． 各个星体简化为质点，则太阳系就可以视为自由质点系统。与此相反，受到约束作用的 系统，则称为非自由系统。工程中所有的机器和机构都是非自由质点系统。 ．．．．． 对于非自由系统来说，约束对系统中各个质点的运动提供了限制条件。这些限制条 件可以用数学方程表示出来，我们把用数学方程所表示的约束关系称为约束方程。 ．．．． 2. 约束的分类 根据约束对质点系限制作出的不同，可以把约束按其性质分为以下几种类型。 （1）稳定约束和非稳定约束。根据约束是否与时间参数t 有关，可把约束分为稳定 约束 （又称定常约束）和非稳定约束 （又称非定常约束）。所谓稳定约束，就是指约束 ．．．． 的性质不随时间变化，即在这种约束的约束方程中，不显含时间参数 t 。稳定约束的约 束方程一般形式为 f (x , y , z ; ;x , y , z ;x,y, z; ; x,y, z) 0 (j 1,2,, s) （2.1 ） j 1 1 1 n n n 1 1 1 n n n 式中 n——质点系中质点的数目； s——为约束方程的数目。 所谓非稳定约束，就是指约束随着时间参数t 的改变而改变，反映在约束方程中则 ．．．．． 是显含时间参数t ，非稳定约束的约束方程一般形式为 f (x , y , z ; ;x , y , z ; x, y, z; ;x, y, z;t) 0 (j 1,2, , s) （2.2 ） j 1 1 1 n n n 1 1 1 n n n 1 [例1] 被限制在空间球面上运动的质点M ，在选取了图2-1 所示的空间直角坐标系 后，质点的位置坐标 （x ，y ，z ）必须满足空间曲面方程 x 2 y 2 z 2 l 2 这就是约束方程。由于方程中不显含时间变量t ，所以是稳定约束。 [例2] 被限制在铅直面内摆动的单摆，如图2-2 所示。设单摆的原长为l ，若另一 0 端拉动绳子的速度 v0 为常数。在选取了图示的坐标系后，单摆中质点M 的约束方程应 为： 2 2 2 x y (l v t) 0 0 由于约束方程中明显包含了时间变量t ，所以是非稳定约束。 图2-1 例1 图示 图2-2 例2 图示 （2 ）几何约束和运动约束。根据约束方程中是否含有坐标的导数，约束可分为几 何约束和运动约束。所谓几何约束，是指约束只限制系统中各个质点在空间的位置，即