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随机变量的函数 我们已经学习了三种典型的连续随机变量――均匀、指数和高斯分布。这是最基本、应 用最为广泛的连续分布。除此之外，还有不少连续分布具备良好性质，且在实际应用中发挥 着重要作用。这些分布和三种基本分布间大多存在函数关联。所以，如何在已知随机变量分 布信息的前提下，计算其各类函数(特别是有良好解析表达的初等函数)的分布，并籍此进行 深入研究成为了概率论中的重要问题。本章将承接上章的内容，就这一问题展开讨论。这里 比较强调随机变量间的紧密联系，对与随机变量的函数有关的计算方法给予了较多的关注， 希望读者能够体会和掌握其中的基本思想和技巧。 随机变量函数的分布 已知某个连续随机变量X 的分布函数为FX (x)，密度为fX (x)，考虑X 的函数Y = g (X )， 其中g是定义于上的可测函数。那么如何计算随机变量Y 的分布函数以及密度是概率论中 的重要问题，有着非常广泛的实际应用。 根据分布函数的定义，对于Y 的分布函数FY (y)，我们有 FY (y) = (Y y) = (g (X )y), 很明显，这里g 的特性对求解有很大影响。 假定g是单调函数，那么在单调增条件下， FY (y) = (X g − (y)) = FX (g − (y)), (1-1) 在单调减条件下， FY (y) = (X g − (y)) = 1 − FX (g − (y)), (1-2) 因此，我们得到 FY (y) = { FX (g − (y)) g (x)单调增 , (1-3) 1 − FX (g − (y)) g (x)单调减 求导后得到Y 的概率密度为 d 1 fY (y) = FY (y) = fX (g − (y)) ′ − , (1-4) dx |g (g (y))| 进一步假定g不是严格的单调函数，但是有若干个明确的单调区间。固定y ∈ ，如果方 程y = g (x)恰有n个解x , · · · , xn ， y = g (xk ), k = 1, 2, · · · , n, 那么Y 的密度在y 点的取值满足 n fY (y) = ∑ fX (xk ) , y = g (xk ), k = 1, 2, · · · , n, (1-5) ′ |g (xk )| k 事实上，根据定义有 FY (y + ∆y) − FY (y) = (y Y y + ∆y), g有明确的单调区间，意味着在xk 附近g非增即减。如果在xk 附近g (x)单调增，那么 (y Y y + ∆y) −→ (xk Xxk + ∆xk ), 如果在xk 附近g (x)单调减，那么 (y Y y + ∆y) −→ (xk − ∆xk Xxk ), 综合考虑所有的xk ，得到 (y Y y + ∆y) = ∑ (xk Xxk + ∆xk ) + ∑ (x′ − ∆x′ Xx′ ), k k k