现代控制理论基础第四章-2013.pdf

现代控制理论基础 Elements of Modern Control Theory 主讲：董霞 西安交通大学机械工程学院 第四章 控制系统的李亚普诺夫稳定性分析 控制系统的稳定性分析是系统分析的重要组成部分。系统稳定是控制系统 正常工作的前提条件,因此判别系统的稳定性及如何改善其稳定性是系统 分析和综合的首要问题。 对单输入－单输出的线性定常系统，以传递函数或频率特性为其数学模型， 采用劳斯－胡尔维茨（Routh-Hurwitz）判据和乃奎斯特（Nyquist）判据等 来判别系统的稳定性是比较简便的。 对于多变量系统，特别是时变系统和非线性系统，以状态空间表达式为数学 模型，系统的稳定性,通常指系统的平衡状态是否稳定。简单地说, 稳定性 是指系统在扰动消失后,由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能(这是系统 的自身属性），分析其稳定性采用的方法是李亚普诺夫（A.M. Lyapunov） 提出的稳定性理论。 1 本章主要内容 4.1 引言 4.2 李亚普诺夫意义下的稳定性 4.3 判别系统稳定的李亚普诺夫方法 4.4 线性系统的Lyapunov稳定性分析 2 4.1 引言 对于线性定常SISO系统，其稳定性分析可以通过经典控制理 论的Routh-Hurwitz判据和Nyquist判据来解决。 在航空、航天以及其它科技领域发展中，控制系统日益向非线 性、时变、MIMO系统延伸，由于关注的是系统平衡状态的稳定 性，因而其稳定性分析无法利用经典控制理论解决，于是李亚普 诺夫稳定性分析理论诞生。 1892年，李亚普诺夫（Lyapunov ）发表了《运动稳定性的一 般问题》论文，建立了运动稳定性的一般理论和方法。 3 李亚普诺夫在他的博士论文“运动稳定性的一般问题”中借助平衡 状态稳定与否的特征对系统或系统运动稳定性给出了严格定义,提出了解 决稳定性问题的一般理论,即李亚普诺夫稳定性理论。该理论基于系统的 状态空间描述法,是对单变量、多变量、线性、非线性、定常、时变系统 稳定性分析皆适用的通用方法,是现代稳定性理论的重要基础和现代控制 理论的重要组成部分。 经典控制理论与现代控制理论中所讨论稳定性的区别： 经典控制理论中基于输入-输出描述法描述的是系统的外部特性,因此, 系统的稳定性一般指输出(外部)稳定性；现代控制理论中的状态空间描述 法不仅描述了系统的外部特性,且全面揭示了系统的内部特性,因此, 借助 平衡状态稳定与否的特征所研究的系统稳定性指状态(内部)稳定性。 4 他把稳定性分析方法归纳为两种: 一种是通过求出微分方程的解来分析系统的稳定性，是一 种间接方法，由于求解非线性时变微分方程的解是非常困难 甚至不可能的，因而此方法的应用受到一定限制。 另一种是不需要求解微分方程而给出系统稳定性的信息， 是一种直接方法。它根据系统在其平衡状态渐近稳定时，其 能量必将随时间的增长而衰减，直至达到平衡状态而使能量 趋于最小值的原理，只要找到这样的能量函数（李亚普诺夫 函数）即可判断系统的稳定性。 由于李亚普诺夫第二法可以避开求解微分方程的困难，因而 更具重要性。 5 4.2 李亚普诺夫意义下的稳定性 由于李亚普诺夫稳定性研究的是系统在平衡状态的稳定性，即系统在平衡 状态下受到扰动后自由运动的性质，与外部输入无关。下面首先给出平衡状 态的定义。 一般地，设系统的齐次状态方程为