第14篇网络方程的矩阵形式2.doc

第14章 网络方程的矩阵形式 2 学习要点 2 14.1 关联矩阵A·节点电压方程的矩阵形式 2 14.1.1 关联矩阵A和KCL、KVL方程的矩阵形式 2 14.1.2 复合支路及其VCR的矩阵形式 4 14.1.3 节点电压方程的矩阵形式 6 14.1.4 改进的节点电压方程 10 14.2 回路矩阵B·回路电流方程的矩阵形式 11 14.2.1 回路矩阵B和KVL、KCL方程的矩阵形式 11 14.2.2 复合支路及其VCR的矩阵形式 13 14.2.3 回路电流方程的矩阵形式 14 14.3 割集矩阵Q·割集分析法 15 14.3.1割集与割集矩阵Q 15 14.3.2 KCL、KVL方程的矩阵形式 16 14.3.3割集电压方程的矩阵形式 17 14.4 状态方程 18 14.4.1状态变量与状态方程 19 14.4.2状态方程的直观编列写 20 习 题 十四 22 第14章 网络方程的矩阵形式 学习要点 (1) 图的概念。 (2) 关联矩阵A、回路矩阵B、割集矩阵Q的含义及列写。 (3) 节点电压方程矩阵形式的列写。 (4) 回路电流方程矩阵形式的列写。 (5) 割集电压方程矩阵形式的列写。 (6) 状态方程。 借助于“网络拓扑”理论和“矩阵”理论，可使复杂电网络的描述及方程的列写与求解等问题系统化，并易于在电子计算机上实现，这是学习本章内容的主要目的所在。 本章在电路的图、回路、割集等概念基础上。讨论电路的图中，节点与支路的关系，回路与节点的关系、割集与支路的关系，对人而言，用图来表达这些关系很直观。但是，计算机识别却很困难，这些关系如何通过数学解析关系来表达，以便于计算机识别呢？本章通过关联矩阵A、回路矩阵B 、割集矩阵Q来表达这些关系，并以此为基础讨论电路方程的矩阵形式。 14.1 关联矩阵A·节点电压方程的矩阵形式 本节首先讨论关联矩阵，在此基础上得到KCL、KVL方程的矩阵形式，然后讨论复合支路及其方程的矩阵形式，最后推导节点电压方程的矩阵形式。 14.1.1 关联矩阵A和KCL、KVL方程的矩阵形式 1．关联矩阵A 电路图中，支路与节点之间的关系如何呢？用文字表达节点与支路的关系，有三种情况： 1）一个节点j与支路k直接连接，支路k的方向背离节点； 2）一个节点j与支路k直接连接，支路k的方向指向节点； 3）一个节点j与支路k无直接连接。 现在用矩阵来描述这种关系，每个行表示一个节点，每个列表示一个支路。矩阵的元素ajk按如下原则定义： 这样矩阵就表达了电路图中各节点与各支路之间的关系，因此，也称矩阵为节点-支路关联矩阵，简称关联矩阵。 实例分析：在图14-1所示的电路图中共有4个节点，6条支路，根据图中各节点与各支路的关系就可写出关联矩阵 图14-1 图例 其中每行对应一个节点，每一列对应一条支路。 从实例可以看出，中每一列对应的的不为0元素有两个，分别为。按这个规律，其中的一行（一个节点）可以通过其他行相加求得，为非独立的。若将中的任一行划去，剩下的（n－１）×b阶矩阵称之为降阶关联矩阵A，但习惯上仍称为关联矩阵A。 1）的每一行对应一个节点，而每一列对应一条支路； 2）若网络有n个节点，b条支路，则为阶数为（n－1）×b。 2．KCL方程的矩阵形式 下面讨论矩阵与KCL方程的关系。在图14-1中，对1、2、3节点，列写KCL方程得： 将以上方程写成矩阵形式 （14-1） 可以看出该方程的系数矩阵正是关联矩阵A。 令 则有 （14-2） 对任一电路，这一关系也是成立的。如果电流在支路指向节点即流入节点取正，背离节点即流出节点取负的前提下，的一行，表示与该节点相关联的那些支路电流的代数和等于0，即KCL。 3. 支路电压与节点电压的关系 对图14-1所示的有向图，若取节点4为参考节点，、、为节点1、2、3的节点电压，按照第三章所介绍的方法，由节点电压求支路电压，可列出6个电压方程；写成矩阵形式如下： （14-3） 以上矩阵方程的系数矩阵恰好为对应节点1、2、3的关联矩阵的转置矩阵。若令为支路电压列向量，为节点电压列向量，则有 （14-4） 图 14-2 节点电压与支路电压的关系 这一关系对一般网络也是成立的，它实际是根据KVL得出的，即它是KVL的一种表现形式。如图14-2所示，设支路5连接于节点2和3之间，支路电压u5、un2、un3构成一个回路，根据KVL得 u5