§4.克拉默法则一.非齐次线性方程组克拉默法则.ppt

* * §4.克拉默法则 一.非齐次线性方程组的克拉默法则 (1) 设非齐次线性方程组 (3) 则线性方程组(1)有唯一解 若(1)的系数行列式 (2) 即证明： 等式成立 证明： 先证 是（1）的解， 要证 是（1）的解，只须证 明（3）满足（1）即可，为此把（1）改写成： 做n+1阶行列式 显然 . 把 按第一行展开.需要求出第一行 每个元素的代数余子式.第一行元素 的代数余子式为: 所以 即 再证唯一性.假设 也是(1)的解.在(2)两端同时乘以 由于 , 所以 故线性方程组(1)有唯一解(3). 例1.解方程组 解: 定理2.如果线性方程组（1）的系数行列式D不等于0, 则(1)有唯一的解. 于是得原方程组的解为 定理3. 如果线性方程组(1)无解或有多个解，则它的系数行列式必为0. 二.齐次线性方程组的克拉默法则 设齐次线性方程组 (4) 若(4)的系数行列式 (5) 则(4)没有非零解. . 定理 .如果齐次线性方程组(4) 有非零解,则它的系数行列式必为0。 定理3.如果齐次线性方程组(4) 的系数行列式D不等于0,则齐次线性 方程组(4)没有非零解. 例2. 问 在什么条件下,方程组 有非零解？ 解：由定理 知，若方程组 有非零解，则其系数行列式必为零。 所以，当 或 时，上面方程组有非零解。 例3 设非齐次线性方程组 问λ 为何值时，该方程组有唯一解，并求其解。 解：方程组的系数行列式为 （λ +2） 显然当λ ≠－2，λ ≠ 1时，方程组有唯一解。 D= *