第二章 第2节 初等函数.pdf

§§22. 初等函数初等函数 1. 指数函数 2. 多值函数导导引辐角辐角函数 33. 对数函数对数函数 44. 幂函数幂函数 55. 三角函数与反三角函数三角函数与反三角函数 一.. 指数函数指数函数 实指数函数实指数函数的定定义可以扩充扩充到到整个个复平面复平面,,作为作为 复变量z=x+iy 的函数w f (z)满足下列基本条件: 1.∀x ∈R , f (x ) e x ; 22. f ((z))在在C上解析上解析; 33.∀∀zz , zz ∈∈CC , ff ((zz ++zz )) ff ((zz )) ff ((zz );); 1 2 1 2 1 2 首先首先, ff ((zz )) ff ((xx =++iyiy )) ee x ff ((iyiy );); 设f (iy) u(0, y) =+iv(0, y) : A( y) =+iB( y), xx xx 则则 ff ((z )) e AA((y )) =++iie BB((y )), 由由解析性解析性,AA ((yy )),BB((yy ))满足满足CC.-RR.方程方程:: A(y ) B (y ), A (y ) =−B (y ), 解得 A(y ) cos y , B (y ) sin y , f (z ) e x (cos y =+i sin y ) z 因此， e 称为复指数函数(Exponent Function),当Rez 0 即得欧即得欧拉公式拉公式： eiy cos y +i sin y z 指数函数指数函数 ee 基本性质基本性质: ((1)1)∀∀zz ee z ≠≠00 ((事事实实上上,, eez eex ≠≠0)0) ((2)) 当当zz 为为实实数数x 时时,, ff ((zz )) ez ex (∵y 0) z ′ z f (z ) (3) ∀z , (e ) e , 在复平面上处处解析 z z z +z (4) 加法定理 : e 1 e 2 e 1 2 z −z x−x 0 又∵e e e (cos( y =−y) +i sin( y −y)) e =⋅1 1 −z 11 ezz11 ∴e ⇒ ez1 −z2 z e ez2 (5) 周期性 zz 由由加加法法定定理理可可推推得得ff ((z )) e 的的周周期期性性 : ff (( zz ++ TT )) ff (( zz )), TT 22 kk ππii , kk ∈∈ZZ zz +