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线代 第一讲 行列式 一．行列式的定义与基本性质 1．逆序数的定义 由 n 个自然数1,2,Λ ,n 组成的一个无重复数字的有序数组i i Λ i 称为一个n 级排列。n 级排列 1 2 n 共有n!个。 在排列i i i i 中，若i i ，则称i 和i 之间产生一个逆序。对这个排列中的任何两个 1 s t n s t s t 数都加以考虑，所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。 i i Λ i 的逆 逆序数的计算方法：每个数前面比它大的数的个数的总和就是一个排列的逆序数。1 2 n 序数记为τ(i i Λ i ) 。例如 4231 的逆序数为 5. 1 2 n 逆序数的性质：τ(i i Λ i ) +τ(i i Λ i i ) C2 。 1 2 n n n −1 2 1 n 2.n 阶行列式的定义 a a a 11 12 1n a a a 21 22 2n τ(j j j ) 1 2 n ∑(=−1) a a a 1j 1 2j 2 nj n a a a n1 n 2 nn 其中τ(j j j ) 表示列标排列的逆序数。上式是对列标的所有排列求和，共有n !项。 1 2 n n n 注意： 阶行列式等于所有取自不同行不同列的 个数的乘积的代数和。 例题 1.三阶行列式的三角形法则： a b c 1 1 1 a b c a b c +a b c +a b c −a b c −a b c −a b c 2 2 2 1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 2 1 3 1 3 2 a b c 3 3 3 例题 2.在一个六阶行列式中，a31a62a46 a13a25a54 的符号为 。 例题 3.在n 阶行列式中，副对角线乘积的符号为 。