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线 性 代 数 讲 义 武汉大学数学与统计学院 马 涛 xifeiauto@ 2014/5/26 目 录 前 言3 第一章 行列式（Determinants ）6 §1.1 二阶、三阶行列式6 §1.2 全排列8 §1.3 n 阶行列式的定义9 §1.4 行列式的性质10 §1.5 行列式按行（列）展开13 §1.6 克莱姆(Cramer)法则 16 第二章 矩阵（Matrixes ）及其运算19 §2.1 矩阵19 §2.2 矩阵的关系和运算21 §2.3 逆矩阵28 §2.4 分块矩阵32 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组37 §3.1 矩阵的初等变换37 §3.2 初等方阵39 §3.3 矩阵的秩42 §3.4 线性方程组的解45 第四章 向量组的线性相关性51 §4.1 线性组合和线性表示51 §4.2 向量组的线性相关性55 §4.3 向量组的秩57 §4.4 线性方程组解的结构59 §4.5 向量空间62 第五章 矩阵特征值与相似变换65 §5.1 向量的内积及正交性65 §5.2 特征值与特征向量69 §5.3 相似矩阵72 §5.4 实对称矩阵的对角化75 §5.5 二次型及其标准形77 §5.6 配方法化二次型为标准形79 §5.7 正定性81 教材：工程数学线性代数 第五版，同济大学应用数学系编 2014 课表：４-17周,每1周；7-9节，3区，1-425; 4-17周,每1周；8-10节，1区，5-303 2 前 言 线性代数是数学中的一门基础学科，现在它的基本理论已经相当完备，而以 它为基础还推广出了很多新的数学学科．从实数集上的数学运算出发，线性代数 首先涉及的是两个最基本的运算：加法 (x + y ) 和数乘 (kx) ．那么kx + ly 就是一 般的线性运算。记为z = kx + ly ，我们称这是由(x , y ) 到z 的线性变换，或说z 和 x , y 有线性关系。如果把自变量推广到多个的情况，则有如下形式的线性关系： y = a x + a x + + a x ． 1 1 1 2 1 n 若因变量也是多个，则有如下更一般形式的线性关系： y = a x + a x + + a x ⎧ 1 11 1 12 2 1n n ⎪ y = a x + a x + + a x ⎪ 2 21 1 22 2 2n n ⎨ ⎪ ⎪ = + + +