组合数学总习题.pdf

第一章 习 题 1． 1)求小于10000 的含1 的正整数的个数 2)求小于10000 的含0 的正整数的个数 解：1)小于10000 的不含1 的正整数可看做4 位数,但0000 除外. 故有9 ×9 ×9 ×9 －1＝6560 个. 含1 的有：9999 －6560=3439 个 （另: 全部4 位数有10 个,不含1 的四位数有94 个, 4 4 含1 的4 位数为两个的差: 10 －9 = 3439 个） 2) “含0 ”和 “含1”不可直接套用， 在组合的习题中有许多类似的隐含的规定，要特别留神。 不含0 的1 位数有9 个，2 位数有92 个，3 位数有93 个，4 位数有94 个。不含0 小于10000 的正整数有 2 3 4 4 9+9 +9 +9 =9(1－9 )/(1－9)=7380 个 含0 小于10000 的正整数有：9999 －7380=2619 个 2 ．求200000 到900000 之间的奇数中由不同数字组成的六位数的个数。 解：设这个六位数为abcdef， 则a {2 ,3,4 ,5 ,6 ,7 ,8} , f {1,3,5 ,7 ,9 } （1）当a {3,5 ,7 } 时，f只有4种取法，此时有3 4 p 4 12 p 4 8 8 （2）当a {2 ,4 ,6 ,8} 时，f有5种取法，此时有4 5 p 4 20 p 4 8 8 因此，200000 到900000 之间的奇数中由不同数字组成的六位数有32 p 4 。 8 3 ．求能够除尽1400 的正整数的个数。 解： 考察对于任一个正整数m 的因数数，首先将其进行质因数分解，设为： r r r m p 1 p 2 Lp k , p ,p ,L, p 为质数 1 2 k 1 2 k m 的任一因数可以表示为如下形式： p s1 p s2 Lp s k , 0 s r , i 1,k 1 2 k i i 于是，m 的因数数为： (r1 1) ( r2 1) L ( rk 1) 于是，可以将1400 进行质因数分解： 1 1400 23 52 71 能够除尽1400 的正整数的个数为：（3 ＋1）× （2 ＋1）× （1＋1）＝24 4 ．有5 颗红珠子和3 颗兰珠子装在圆板的四周，有多少种方案？若兰珠子放在 一起呢？若兰珠子不相邻呢？ 解：若不加限制，即为圆排列，有Q88 ＝7 ！ 若兰珠子放在一起，先把兰珠子看成一个作圆排列，后对 3 个兰珠 子作全排列，有Q66 ×P33 ＝ 5 ！×3 ！ 若兰珠子不相邻，先把红珠子作圆排列，然后对 3 个兰