离散数学第04章-数学书籍.ppt

第四章 关 系 4.1 二元关系 4.2 关系运算 4.3 关系类型 4.1 二元关系 二元关系，这里是指集合中两个元素之间的关系。 1．基本概念 定义4.1.1 给定任意集合A和B，若R?A?B，则称R为从A到B的二元关系，特别在A=B时，称R为A上的二元关系。 可见，R是有序对的集合。若x,y?R，则也表为xRy，即x,y?R?xRy。 若R=?，则称R为A到B上空关系；若R=A?B，称R为A到B上全域关系。特别当A=B时，称?为A上空关系，称R=A?A为A上的全域关系。称R={x,x|x?A}为A上的恒等关系，记为IA。 类似地可定义n元关系。若S ? Ai，则称S为 Ai上的n元关系。特别A1=A2=···=An时，称S为A上的n元关系。 定义4.1.2 令R?A?B，且 D(R)={x|(?y)(xRy)} R(R)={y|(?x)(xRy)} F(R)=D(R)+R(R) 则称D(R)、R(R)和F(R)分别是二元关系R的定义域、值域和域。 显然D(R)?A，R(R)?B。 由于关系是有序对的集合，对它可进行集合运算，其结果也是有序对的集合，即也是某一种二元关系。令R和S是两个二元关系，则R∪S，R∩S，R-S，R?S和R’都分别定义了某一种二元关系，并且可表成： x(R∪S)y?xRy?xSy x(R∩S)y?xRy?xSy x(R-S)y?xRy?xSy x(R?S)y?xRy?xSy xR ’y?xRy 2．关系矩阵与关系图 表达从有穷集合到有穷集合的二元关系时，矩阵和有向图都是得力的工具。 定义4.1.3 给集合A={a1,a2,···,am}和B={b1,b2,···,bn}，且R?A?B，若 1 aiRbj rij= 0 否则 则称矩阵MR=(rij)m?n为R的关系矩阵。 当给定关系R，可求出关系矩阵MR；反之，若给出关系矩阵MR，也能求出关系R。 集合A上的二元关系R也可用有向图表示。具体方法是：用小圆圈“?”表示A中的元素，小圆圈称为图的结点。把对应于元素ai和aj的结点，分别标记ai和aj。。若ai, aj?R，则用弧线段或直线段把ai和aj连接起来，并在弧线或直线上设置一箭头，使之由ai指向aj；若ai, ai?R，则在结点ai上画一条带箭示的自封闭曲线或有向环，称这样的弧线或封闭曲线为弧或有向环。这样得到的有向图A, R叫做关系R的图示，简称关系图，记为GR。 3．关系的性质 关系的性质是指集合中二元关系的性质，这些性质扮演着重要角色，下面将定义这些性质，并给出它的关系矩阵和关系图的特点。 定义4.1.4 令R?A?A，若对A中每个x，都有xRx，则称R是自反的，即 A上关系R是自反的??x)(x?A?xRx) 该定义表明了，在自反的关系R中，除其他有序对外，必须包括有全部由每个x?A所组成的元素相同的有序对。 在全集U中所有子集的集合中，包含关系?是自反的，相等关系=也是自反的；但是，真包含关系?不是自反的。整数集合Z中，关系≤是自反的，而关系不是自反的。 定义4.1.5 令R?A?A，若对于A中每个x，有xRx，则称R是反自反的，即 A上关系R是反自反的??x)(x?A?xRx) 该定义表明了，一个反自反的关系R中，不应包括有任何相同元素的有序对。 由定义4.1.4 说明中，可知真包含关系?是反自反的，但包含关系?不是反自反的；小于关系是反自反的，而≤不是反自反的。 应该指出，任何一个不是自反的关系，未必是反自反的；反之，任何一个不是反自反的关系，未必是自反的。这就是说，存在既不是自反的也不是反自反的二元关系。 定义4.1.6 令R?A?A，对于A中每个x和y，若xRy，则yRx，称R是对称的，即 A上关系R是对称的 ?(?x)(?y)(x,y?A?xRy→yRx) 该定义表明了，在表示对称的关系R的有序对集合中，若有有序对x, y，则必定还会有有序对y, x。 在全集U的所有子集的集合中，相等关系是对称的，包含关系?和真包含关系?都不是对称的；在整数集合Z中，相等关系=是对称的，而关系≤和都不是对称的。 定义4.1.7 令R?A?A，对于A中每个x和y，若xRy且yRx，则x=y，称R是反对称的，即 A上关系R是反对称的 ?(?x)(?y)(x,y?A?xRy?yRx→x=y) 该定义表明了，在表示反对称关系R的有序对集合中，若存在有序对x, y和y, x，则必定是x=y。或者说，在R中若有有序对x, y，则除非x=y，否则必定不会出现y, x。 在全集U的所有子集的集合中，相等关系=，包含关系?和真包含关系?都是反对称的，但全域关系不是反对称的。在整数