一维导热方程有限差分法matlab实现.docx

第五次作业（前三题写在作业纸上）一、用有限差分方法求解一维非定常热传导方程，初始条件和边界条件见说明.pdf文件，热扩散系数α=const，用Tylaor展开法推导出FTCS格式的差分方程讨论该方程的相容性和稳定性，并说明稳定性要求对求解差分方程的影响。说明该方程的类型和定解条件，如何在程序中实现这些定解条件。编写M文件求解上述方程，并用适当的文字对程序做出说明。（部分由网络有哪些信誉好的足球投注网站得到，添加，修改后得到。）function rechuandaopde%以下所用数据，除了t的范围我根据题目要求取到了20000，其余均从pdf中得来a=0.00001;%a的取值xspan=[0 1];%x的取值范围tspan=[0 20000];%t的取值范围ngrid=[100 10];%分割的份数，前面的是t轴的，后面的是x轴的f=@(x)0;%初值g1=@(t)100;%边界条件一g2=@(t)100;%边界条件二[T,x,t]=pdesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid);%计算所调用的函数[x,t]=meshgrid(x,t);mesh(x,t,T);%画图，并且把坐标轴名称改为x，t，Txlabel(x)ylabel(t)zlabel(T)T%输出温度矩阵dt=tspan(2)/ngrid(1);%t步长h3000=3000/dt;h9000=9000/dt;h15000=15000/dt;%3000,9000,15000下，温度分别在T矩阵的哪些行T3000=T(h3000,:)T9000=T(h9000,:)T15000=T(h15000,:)%输出三个时间下的温度分布%不再对三个时间下的温度-长度曲线画图，其图像就是三维图的截面%稳定性讨论,傅里叶级数法dx=xspan(2)/ngrid(2);%x步长sta=4*a*dt/(dx^2)*(sin(pi/2))^2;if sta0,sta2 fprintf(\n%s\n,有稳定性)else fprintf(\n%s\n,没有稳定性) errorend%真实值计算[xe,te,Te]=truesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid);[xe,te]=meshgrid(xe,te);mesh(xe,te,Te);%画图，并且把坐标轴名称改为xe，te，Texlabel(xe)ylabel(te)zlabel(Te)Te%输出温度矩阵%误差计算jmax=1/dx+1;%网格点数[rms]=wuchajisuan(T,Te,jmax)rms%输出误差function [rms]=wuchajisuan(T,Te,jmax)for j=1:jmax rms=((T(j)-Te(j))^2/jmax)^(1/2)endfunction[Ue,xe,te]=truesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid)n=ngrid(1);%t份数m=ngrid(2);%x份数Ue=zeros(ngrid);xe=linspace(xspan(1),xspan(2),m);%画网格te=linspace(tspan(1),tspan(2),n);%画网格for j=2:n for i=2:m-1 for g=1:m-1Ue(j,i)=100-(400/(2*g-1)/pi)*sin((2*g-1)*pi*xe(j))*exp(-a*(2*g-1)^2*pi^2*te(i)) end endendfunction [U,x,t]=pdesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid)n=ngrid(1);%t份数m=ngrid(2);%x份数h=range(xspan)/(m-1);%x网格长度x=linspace(xspan(1),xspan(2),m);%画网格k=range(tspan)/(n-1); %t网格长度t=linspace(tspan(1),tspan(2),n);%画网格U=zeros(ngrid);U(:,1)=g1(t);%边界条件U(:,m)=g2(t);U(1,:)=f(x);%初值条件%差分计算for j=2:n for i=2:m-1U(j,i)=(1-2*a*k/h^2)*U(j-1,i)+a*k/h^2*U(j-1,i-1)+a*k/h^2*U(j-1,i+1); endend将温度随时间变化情况用曲线表示给出3000、9000、15000三个时刻的温度分布情况，对温度随时间变化规律做说明。T3000=100.0000 63.4362 34.2299 15.802