弹性地基上阶梯梁自由振动的有限差分解.pdf

兰州理工大学毕业设计(论文) 第一章 绪 论 [01-17] 现代工程设计中,用数值方法求解微分方程已被广泛应用 。其中， 有限差分法（FDM ）是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代 替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用 在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差 商来近似；积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代 之以代数方程组，即有限差分方程组。解此方程组就可以得到原问题在离 散点上的近似解，然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整 [18-20] 个区域上的近似解 。与微分求积单元法(DQEM) 和有限元法(FEM)相 比, 有限差分法（FDM ）具有较高精确性和良好的适用性。 本文应用有限差分法（FDM ）对弹性地基上均质阶梯梁横向自由振动 的频率特性进行分析,并与已有的计算结果进行对比。 1.1 课题的研究意义 阶梯梁被广泛地应用于水工结构或大型工业与民用建筑结构中。在多 层建筑中，采用弹性地基梁基础，可以克服地基土比较软弱、建筑物荷载 较大等缺点。此外，筏基，箱基等更复杂的问题有时也可以简化为梁式基 础来计算。 弹性地基上梁的计算是一个比较复杂的问题，目前一些大型有限元软 件，如ANSYS ，SAP2000，MARC 等虽然能够比较准确的计算梁式基础， 但是这些软件都是通用的有限元软件，在设计计算时要求设计人员有足够 的经验，设置合理的参数，并且采用这些软件建模计算过程通常比较复杂， 不易被广大工程设计人员掌握。而有限差分法求解此类问题，原理简单， 求解方便，所得结果能够满足工程要求。因此，本文以有限差分法（FDM ） 来计算弹性地基均质阶梯梁的自由振动问题，以此凸显有限差分法（FDM ） 准确性和和良好的适用性特点。 1.2 国内外研究现状 弹性地基上阶梯梁自由振动问题的研究涉及地基土的模型和求解计算 理论。国内外进行了很多相关的研究工作，以下对研究工作进展进行简单 - 1 - 兰州理工大学毕业设计(论文) 综述，并此基础上，运用有限差分方法求解弹性地基上阶梯梁横向自由振 动问题的近似解。 1.3 研究的主要内容 弹性地基上阶梯梁自由振动是一个很重要而复杂的问题。本文对弹性 地基上的均质阶梯梁的自由振动通过有限差分进行求解，并和已有其他解 法所得结果进行了分析比较。 主要内容包括： (1)介绍了有限差分法的基本原理； (2)介绍了弹性连续介质地基、双参数地基的研究现状及各自的特点； (3) 提出了弹性地基上简单边界条件梁的传统解析算法； (4)提出了计算弹性地基上梁振动问题的有限差分法，并采用该方法计算了 梁在自由振动下振型函数； (5)针对工程实例，分析比较弹性地基模型下的计算结果。 - 2 - 兰州理工大学毕业设计(论文) 第二章 有限差分原理及弹性地基模型简述 2.1 有限差分的基本原理 有限差分法是用差分方程代替微分方程，从而把基本微分方程和边界 [02] 条件化为代数方程的求解 。在将偏微分方程和相应的边界条件转化成有 限差分方程之前，我们先将函数的导数改用差分表示，从而导出常用的差 分公式。 2.1.1 差分法求解基本思想 (1)将微分用有限差分表示 dx x x x ;df f f f （2.1.1 ） i1 i i1 i (2)将导数用有限差商表示 df f f i1 f i  （2.1.2 ） d