数值分析Ch5.pdf

第五章 解线性方程组的直接方法 §1 引言 很多实际问题的解决常常归结为解线性 方程组。例如：电学中的网络问题，三次 样条函数问题，曲线拟合问题，用差分 法或者有限元方法解常微分方程、偏微 分方程边值问题。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第五章 直接方法 1/74 而这些方程组的系数矩阵大致分为两种， 一种是低阶稠密矩阵（例如：阶数不超 过 ），另一种是大型稀疏矩阵（即矩 阵阶数高且零元素较多）。 相应的数值解法分为两类：直接法和迭 代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第五章 直接方法 2/74 直接法：经过有限步算术运算，可求得 方程组精确解的方法(不计舍入误差!)。 但由于舍入误差的存在和影响，只能求 得方程组近似解。本章将讨论高斯消去 法及其变形。这类方法适合低阶稠密矩 阵方程组及某些大型稀疏矩阵方程组。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第五章 直接方法 3/74 迭代法就是通过极限过程去逐步逼近线 性方程组精确解的方法。迭代法具有需 要计算机的存储单元较少、程序设计简 单、原始系数矩阵不变等优点，但存在 收敛性及收敛速度问题。迭代法是解大 型稀疏矩阵方程组的重要方法。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第五章 直接方法 4/74 阶线性方程组： 矩阵形式记为 ，这里 ， 。 . . . . . . . . . . . . . . .