数字信号处理DSP第二章2.4.1.pdf

2.5 序列的 Z变换 2.5.1 z变换的定义 序列x (n) 的z变换定义为幂级数： 双边z变换 ∞ X (z ) ZT [x (n )] ∑x (n )z −n Im[z] n −∞ z 是复变量，所在的复平面称为z平面。 1 Re[z] 例：x (n ) {2,1(0),1.5,=−1,0.5} 单位圆 X (z ) 2z =+1 +1.5z −1 −z −2 +0.5z −3 序列的傅里叶变换是单位圆上的z变换，z变换是推广 j ω e ⇒z 2.5.2 z变换的收敛域与零极点 收敛域： ROC (Region of convergence) 对于任意给定序列 x (n) ，使其z变换X (z)收敛的所 有 z值的集合称为X (z)的收敛域。 X(z)收敛的充要条件是级数满足绝对可和 ∞ ∑x (n )z −n ∞ n −∞ |z|需要限定在一定的范围(收敛域) 。收敛域通常是分别以 Rx-和Rx+为半径的两个圆所围成的环状域 R z R − + x x Im[z ] Z变换的收敛域 Re[z ] 0 z R − x z R + x z变换的零极点 常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示 P (z ) X z( ) Q (z ) X (z)的零点 P(z) 的根 X (z)的极点 Q(z) 的根 在极点处，X (z)不存在，因此收敛域内不能有任何极 点，收敛域总是由极点限定边界。 z平面上收敛域的位置，或者说Rx-及Rx+ 的大小和序列 特点有着密切的关系。 1）有限长序列 ≤ ≤ x n n n n ⎧ ( ) 1 2 x n (