数学精品班最终版.pdf

【数论十讲】 数论基础讲座 （陶平生） 内容与方法：整除性、唯一分解定理、质数与合数，公约数与公倍数、高斯函数、勾股数、不定 方程、同余、剩余类、欧拉定理与费尔马定理、平方和问题、 进制 p  1、在电脑屏幕上给出一个正2011边形，它的顶点分别被涂成黑、白两色；某程序执行这样的操作：每次 可选中多边形连续的 个顶点（其中 是小于 的一个固定的正整数），一按鼠标键，将会使这 个顶 a a 2011 a 点“黑白颠倒”，即黑点变白，而白点变黑； 0 、证明：如果 为奇数，则可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成白色， (1 ) a 也可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成黑色； 0 、当 为偶数时，是否也能经过有限次这样的操作，使得所有的顶点都变成一色？ (2 ) a 证明你的结论． 0 、证明：由于2011 为质数，而1a  2011，则 ，据裴蜀定理，存在正整数 ， (1 ) (a, 2011) 1 m,n am 2011n 1 a 使 „„①，于是当 为奇数时，则①中的m,n 一奇一偶． m n 如果 为偶数， 为奇数，则将①改写成：a (m 2011) 2011(n a) 1，令       am 2011n 1 m n m m 2011, n n a ，上式成为 ，其中 为奇数， 为偶数． m n am 2011n 1 总之存在奇数 和偶数 ，使①式成立；据①， „„②， a 现进行这样的操作：选取一个点 ，自 开始，按顺时针方向操作 个顶点，再顺时针方向操作接下 A A a m n 1 来的 个顶点，„„，当这样的操作进行 次后，据②知，点 的颜色被改变了奇数次（ 次），从而 A n 改变了颜色，而其余所有顶点都改变了偶数次（ 次）状态， m 其颜色不变；称这样的 次操作为“一轮操作”，由于每一轮操作恰好只改变一个点的颜色， 因此，可以 经过有限多轮这样的操作，使所有黑点都变成白点，从而多边形所有顶点都成为白色；也可以经过有限多 轮这样的操作，使所有白点都变成黑点，从而多边形所有顶点都成为黑色． 0 a (2 ) 、当 为偶数时，也可以经过有限多次这样的操作，使得多边形所有顶点都变成一色．具体说来， 我们将有如下结论： 如果给定的正多边形开初有奇数个黑点、偶数个白点，则经过有限次操作，可以将多边形所有顶点变 成全黑，而不能变成全白；反之，如果给定的正多边形开初有奇数个白点、偶数个黑点，则经过有限次操 作，可以将多边形所有顶点变成全白，而不能变成全黑； +1 1 1 为此，采用赋值法：将白点改记为“ ”，