数理方程第二版(谷超豪)答案第一章-第三章.pdf

数学物理方程答案 数学物理方程第二版答案 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点 在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明u(x ,t) 满足 方程 ∂  ∂u  ∂ ∂ u  ρ( )  x  E  ∂ ∂ ∂t  ∂t  x  x  其中ρ为杆的密度， 为杨氏模量。 E 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与x +∆x 。现在计算这段杆 在时刻 的相对伸长。在时刻 这段杆两端的坐标分别为： t t x +u(x ,t); x +∆x +u(x +∆x ,t) +∆ + +∆ − + −∆ [x x u(x x ,t)] [x u(x ,t)] x 其相对伸长等于 θ ux (x + ∆x ,t) ∆x 令 ，取极限得在点 的相对伸长为 。由虎克定律，张力T (x t 等于 ∆x →0 x ux (x ,t) , ) T (x ,t) E (x)ux (x ,t) 其中E (x) 是在点 的杨氏模量。 x 设杆的横截面面积为S (x), 则作用在杆段(x , x +∆x) 两端的力分别为 E (x)S (x)ux (x ,t); E (x +∆x)S (x +∆x)ux (x +∆x ,t). 于是得运动方程 ρ( ) ( ) ⋅∆ ⋅ x s x x utt (x ,t) ESu x (x +∆x) |x +∆x −ESu x (x) |x 利用微分中值定理，消去∆x ，再令∆x →0 得 ∂ ρ(x)s(x)utt (ESu x ) ∂x 若s(x) 常量，则得 ∂2 u ∂ ∂u ρ(x) 2 = (E (x) ) ∂t ∂x ∂x 即得所证。 2 ．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由， (3)端点固定在弹性支承上，试 分别导出这三种情况下所对应的边界条件。 数学物理方程答案 解：(1)杆的两端被固定在x 0, x l 两点则相应的边界条件为 u(0,t) 0,u(l,t) 0. ∂u (2)若x l 为自由端，则杆在x l 的张力T (l,t) E (x) |x l 等于零，因此相应