方向导数_梯度基本概念.pdf

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方向导数_梯度基本概念

方向导数、梯度基本概念 一、问题的提出 实例:一块长方形的金属板,四个顶点的坐 标是(1,1),(5,1),(1,3),(5,3).在坐标原点 处有一个火焰,它使金属板受热.假定板上 任意一点处的温度与该点到原点的距离成反 比. (3,2)处有一个蚂蚁,问这只蚂蚁应沿 什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点? 问题的实质:应沿由热变冷变化最骤烈的方 向 (即梯度方向)爬行. 二、方向导数的定义 z  f (x, y) 讨论函数 在一点P沿某一方向 的变化率问题. 设函数z  f (x, y) 在点 y l  P P(x, y) 的某一邻域U(P) y 内有定义,自点P 引射线l.    x 设x 轴正向到射线l 的转角 x o  为 ,并设P (x  x, y  y)  为l 上的另一点且P U(p). (如图) | PP |  2 2  (x)  (y) , 且z  f (x  x, y  y)  f (x, y), z 考虑 ,  当 沿着 趋于 时, P l P f (x x, y  y)  f (x, y) lim 是否存 ? 0  定义 函数的增量f (x  x, y  y)  f (x, y) 与  2 2 PP 两点间的距离  (x)  (y) 之比值, 当P 沿着l 趋于P 时,如果此比的极限存 , 则称这极限为函数在点P 沿方向l 的方向导数. 记为 f  lim f (x  x, y  y)  f (x, y) . l  0  依定义,函数 在点 沿着 轴正向

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