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几何画板迭代详解之：迭代与分形几何 佛山市南海区石门中学 谢辅炬 分形的特点是，整体与部分之间存在某种自相似性，整体具有多种层次结构分形图片具有无可争议的美学感召力，特别是对于从事分形研究的科学家来说。欣赏分形之美当然也要求具有一定的科学文化知识，但相对而言，分形美是通俗易懂的。分形就在我们身边，我们身体中的血液循环管道系统、肺脏气管分岔过程、大脑皮层、消化道 小肠绒毛等等都是分形，参天大树、连绵的山脉、奔涌的河水、漂浮的云朵等等，也都是分 形。人们对这些东西太熟悉了，当然熟悉不等于真正理解。分形的确贴近人们的生活，因而由分形而来的分形艺术也并不遥远，普通人也能体验分形之美。表示A映射到D，B映射到D，C映射到F,然后添加映射A映射到G，B映射到H，C映射到I,如此类推。 【Sierpinski三角形波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916年期间，为实变函数理论构造了几个典型的例子， 这些怪物常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢氏海绵”、“谢氏墓垛”。如今，几乎任何一本讲分形的书都要提到这些例子。它们不但有趣，而且有助于形象地理解分形。著名的Sierpinski三角形，它是很有代表性的线性分形，具有严格的自相似特点。不断连接等边三角形的中点，挖去中间新的小三角形进行分割---随着分割不断进行Sierpinski三角形总面积趋于零，总长度趋于无穷Sierpinski三角形在力学上也有实用价值，Sierpinski三角形结构节省材料，强度高，例如埃菲尔铁塔的结构与它就很相似。。 添加新的映射, 。 第 3 步 第 4 步 继续添加映射。 改变参数n可观察图形变化。 第 5 步 第 6 步 【Sierpinski地毯Sierpinski地毯 9 等分，得到 9 个小正方形，舍去中央的小正方形，保留周围 8 个小正方形。然后对每个小正方形再 9 等分，并同样舍去中央正方形。按此规则不断细分与舍去，直至无穷。谢尔宾斯基地毯的极限图形面积趋于零，小正方形个数与其边的线段数目趋于无穷多，它是一个线集，图形具有严格的自相似性。 【步骤】 平面上任取线段AB，以线段AB构造正方形ABCD。 以A为缩放中心，B、D缩放为1/3,得到E、F；以D为缩放中心，A、C缩放为1/3得到G、H。同理得到I、J、K、L。连接各点，将正方形九等分； 并填充中间的正方形MNOP，度量MNOP的面积，选择改度量结果和填充的正方形，单击【显示】【颜色】【参数】，单击确定。则该MNOP的颜色随它的面积变化而变化。 第 2 步 第 3 步 新建参数n＝4，顺次选择A、B两点和参数n，作深度迭代，（A，B）（G，P）；（P，O）；（O，J）；（F，M）；（M，N）；（N，K）；（A，E）；（E，L）；（L，B）。注意迭代中点的对应，当迭代框遮住图像的时候可用鼠标选中拖动开。单击迭代，隐藏不必要的点。 如果我们制作任意三角形的Sierpinski三角形和任意四边形的Sierpinski地毯Sierpinski三角形和地毯(西方叫做毕达哥拉斯定理)闻名于世，又由此导致不可通约量的发现。1988年，劳威尔通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是一迭代函数系的J集。，在该弧上任取一点E，连接CE，DE。隐藏不必要的对象。 填充四边形ABCD，度量ABCD的面积。选择四边形和度量结果，单击【显示】【颜色】【参数】。则四边形的颜色会随它的面积变化而变化。 新建参数n＝4，选择A、B和n，作深度迭代，。 第2 步 第 3 步 选择E点，单击【编辑】【操作类按钮】【动画】，E点变动，很漂亮的效果。当E点在的中点时，整个树显出对称美。 【分形树】 【分析】和毕达哥拉斯树类似，树枝按一定的规律生长。 【过程】 在垂直方向上画线段AB，在AB左上区域任取一点C。 度量CB，BA的长度，计算CB/BA；度量的大小。 双击C点作为旋转中心，旋转角度为，旋转B得到点E；继续以CB/BA为缩放比例，E点缩为F点；双击线段CB作为标记镜面，得到F点关于线段CB的对称点G。连接GC，FC。 双击线段AB作为标记镜面，得到C、F、G关于线段AB的对称点D、H、I，连接BD、HD、ID。 第 3 步 第4 步 新建参数n=3。顺次选择A、B、C三点和参数n，作深度迭代，(A,B,C) (B,C,G),(B,C,F),(B,D,H),(B,D,I)。 移动C点的位置，改变树枝的形状。 【KOCH 曲线】 瑞典数学家柯赫于1904年构造了如今称之为“柯赫曲线”(Koch curve)的几何对象，这一年 他一共发表了两篇论文描述这种曲线，他画出了此曲线的图形，给出了生成步骤。的两个等长的直线，每段长度均为L/3，这是n=1的第一次操作。类似地，第二次操作