定态薛定谔方程的数值求解.pdfVIP

姓名 学号 班级 选题 论述 结论 总分 李尚书 2014301020084 物基一班 定态薛定谔方程的数值求解 李尚书 物基一班 2014301020084 摘要：本期末作业主要利用各种有限差分方法数值求解定态薛定谔方程，实现算法所用语言 为Python。利用打靶法求得了无限深方势阱中的波函数。利用匹配法求解了Lennard-Jones势场下 的薛定谔方程，并研究了方势阱底部受微扰情况下的波函数。最后利用量子力学基本变分原理与 蒙特卡罗方法，求得了二维谐振子势下的二维定态波函数，讨论了运算效率及加速问题 关键字:Python;薛定谔方程；有限差分法 1 引言 量子力学中的薛定谔方程是个二阶偏微分方程，其形式取决于所处势场。 但迄今为止，能 解析求解的势场形式非常少，大多都还没有或不能求得解析解。 随着计算机技术的发展，偏微 分方程已经发展出很多数值解法。 有限差分方法即为其中很有效的方法，如解一阶微分方程的 Euler法，解二阶微分方程的Crank-Nicholson方法及Runge-Kutta法等。这些都可以求解薛定谔方 程。而定态薛定谔方程分离了时间变量，形式更简单，利用有限差分方法可以很快求解。本文即 讨论其中的几种简单快捷的方法，并给出计算机模拟结果，相关代码在附录连接 2 一维定态薛定谔方程 2.1 打靶法 （Shooting method) 在教材第二章中我们曾研究过加农炮飞行轨迹，当改变初始条件让其击中某个目标时，其轨 迹唯一确定。而在定态薛定谔方程的求解中，系统的能量E相当于初始条件，方程满足的边界条件 相当于靶子。我们不断调节能量E，使利用差分法计算出的波函数满足边界条件，这样得到的波函 数即为方程的解。 现在我们利用打靶法求解一维无限深方势阱中的定态薛定谔方程 ~2 d2 ¡2m dx2 + V (x) = E (1) 当x 2 (¡1; 1)时，V (x) = 0，对其它x值V (x) = 1 （我们计算时取V 1000）。考虑势场的对称性， 我们可以先求解[0,1.3]中的波函数，首先将区间分成很多个小区间，每个区间长
x, 则 = n (n
x). 改写方程为有限差分形式 ¡ ~2  n+ 1 + n ¡1 ¡ 2 n  = (E ¡ V ) (2) 2m (
x)2 n n 为简洁取单位制~ = 1;m= 1。整理可得 2 = 2 ¡ ¡ 2(
x) (E ¡ V ) (3) n+ 1 n n ¡1 n n 取初始条件 = 1; = 1,从n 1进行迭代可得偶函数形式的波函数，取 = ¡
x; = 0可得奇函 0 1 0 1 数形式的波函数。具体打靶的方法： A) 先用猜测的本征值E 进行迭代，迭代到V = 时波函数必然发散，停止，记录发散方向。 g 1 B) 将E 增加一个变化
E,迭代，若发散方向与上次迭代结果不同，说明E 与E +
E间有能 g g 量本征值存在 （因为边界条件要求V =