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江苏省新海高级中学2009届高三数学模拟试卷 数学（必做题）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上． 的值域为_______________. 2.复数且，则的值为___________. 3. 已知点直线的距离相等，则实数的值等于任意非零实数a、b，若a b的运算原理如图所示，则= 5.如图是2008年北京奥运会上男子跳台跳水比赛中，12位评委为某个运动员打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分之后，所剰数据的标准差为__________. 6.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于的导数,且是其极大值,则实数的取值范围是___________. 8.已知函数,若,则的取值范围是 .科网 9.函数的部分图像则的通项,其前项和为,则使成立的正整数的最小值是__________. 11.在直角坐标系中,已知双曲线:和圆:,过双曲线的左焦点作圆的一条切线(切点为交双曲线的右支于点,若为的中点,则等于__________. 12.已知命题：对一切，，若命题是假命题，则实数的取值范围是 ．，集合，在中随机地选取一个元素，则所选取的元素恰好在中的概率为__________． 14. 已知实数满足, 若不等式恒成立，则实数的取值范围是____________. 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．的最小正周期为. ⑴求正数的值；⑵在锐角中，分别是角的对边. 若,的面积为,求的值. 16. (本小题满分14分） 在直三棱柱中，，，D是BC的中点，F是上一点，且CF=2，E是上一点，且AE=2． ⑴ 求证: 平面； ⑵求证: ∥平面． 17. (本小题满分14分） 已知、分别为椭圆:的上、下焦点,其中也是抛物线的焦点,点是与在第二象限的交点,且. ⑴求椭圆的方程. ⑵已知点和圆:,过点的动 直线与圆相交于不同的两点,在线段上取一点 ,满足:,,(且). 求证:点总在某一条定直线上运动,并求出该直线的方程. 18. (本小题满分16分） 某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部是矩形，其中米，米.上部是个半圆，固定点为的中点.是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆（和不重合）. （1）当和之间的距离为1米时，求此时三角通风窗的通风面积； （2）设与之间的距离为米，试将三角通风窗的通风面积（平方米）表示成关于的函数； （3）当与之间的距离为多少米时，三角通风窗的通风面积最大？并求出这个最大面积. 19. (本小题满分16分） 已知数列中,, 为实常数）,前项和恒为正值，且当时,. ⑴求证:数列是等比数列；⑵设与的等差中项为,比较与的大小； ⑶设是给定的正整数，.现按如下方法构造项数为有穷数列： 当时，； 当时，. 求数列的前项和为. 20. (本小题满分16分） 已知函数. ⑴求函数的最小值； ⑵求证：当时，； ⑶对于函数和定义域上的任意实数,若存在常数，使得不等式和都成立，则称直线是函数与的“分界线”.设函数,试问函数与是否存在“分界线”?若存在,求出常数的值；若不存在，说明理由. 江苏省新海高级中学2009届高三数学模拟试卷 数 学（附加题） 21[选做题] 在AB，C，D四小题中只能选做2题每小题10分共计20分.请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤. A选修4—1几何证明选讲 如图，圆与圆外切于点，一条外公切线分别切两圆于两点，为圆的直径，为圆上任一点，.求证：为圆的切线，切点为. B.选修4—2　矩阵与变换 已知矩阵，点，点. （1）求线段在矩阵对应的变换作用下得到的线段的长度； （2）求矩阵的特征值与特征向量. C.选修44：坐标系与参数方程 的参数方程为，曲线的极坐标方程为． （1）将曲线的参数方程化为普通方程； （2）曲线与曲线有无公共点？试说明理由． D.选修45：不等式选讲 满足,,求的取值范围. 22．[必做题]的前项和为，通项公式为，， （1）计算的值； （2）比较与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论. 23．[必做题]Ⅰ)写出甲总得分的分布列； (Ⅱ)求甲总得分大于乙总得分的概率； (Ⅲ)试证明甲抽取次得分的数学期望为． 江苏省新海高级中学2009届高三数学模拟试卷 参考答案与评分细则 一、填空题 1．；2. ；3.；4.；5.4；6.4；7.；8.； 9．6；10.11；11.；12．；13．；14．. 二、解答题 15．解：⑴∵ 分 ∴由的最小正周期为及得