第2章 系统的数学描述.pdf

第2章 系统的数学描述 本章主要内容 2.1 系统抽象与数学描述 2.1.1 实际系统的抽象 2.1.2 系统数学模型的形式化描述 2.1.3 系统数学模型的描述级（水平） 2.1.4 模型的有效性 2.2 确定型数学模型 2.3 随机型数学模型 2.1 系统抽象与数学描述 2.1.1 实际系统的抽象 • 本质上讲，系统数学模型是从系统概念出发的关于 现实世界的一小部分或几个方面的抽象的“映像”。 将真实系统抽象为数学模型的过程： ① 首先，建模的目的是为了应用模型认识或改造系 统，所以抽象必须与真实目标相联系，先提出一 个详细描述系统的复杂程度适当的抽象模型。 ② 建立如下抽象：输入、输出、状态变量。这种抽 象过程称为理论构造。 ③ 使抽象具体化：在先前提出的抽象模型基础上不 断增加细节到原抽象中去，使抽象不断地具体化。 （即把几个描述变量间的关系确定下来） ④ 经推导、估计，得出实际系统的数学模型。 在抽象过程中，描述变量起着很重要的作用，它可 观测，或不可观测。 • 从外部对系统施加影响或干扰的可观测变量称为 输入变量。 • 系统对输入变量的响应结果称为输出变量。 • 输入、输出变量对的集合，表征着真实系统的 “输入-输出”性状 （关系）。 真 实 系 统 建 模 的 抽 象 过 程 综上所述，真实系统可视为产生一定性状数据的 信息源，而模型则是产生与真实系统相同性状数据 的一些规则、指令的集合，抽象在其中则起着媒介 作用。系统数学建模就是将真实系统抽象成相应的 数学表达式（一些规则、指令的集合）。 2.1.2 系统数学模型的形式化描述 一个系统的数学模型可以用如下七元组集合来描 述： S T , X ,,Q,Y ,,  ① T : 时间集，描述系统变化的时间坐标，若 T 为 整数集 I 则称为离散时间系统，若 T 为实数集 R则称为连续时间系统； ② X : 输入集，代表外部环境对系统的作用；  ③ :输入段集，描述某个时间间隔内的输入模式， 是 X ,T  的一个子集； ④ Q : 内部状态集，描述系统内部状态量，是系统 内部结构建模的核心；  ⑤ :状态转移函数，定义系统内部状态是如何变 化的，是一个映射: :Q Q ; ⑥ Y : 输出集，代表着界面的一部分，系统通过它 作用于环境； ⑦ :输出函数，是使假想的系统内部状态与系统  对其环境的影响相联系，是一个映射：  : Q Y  :Q X T Y 返回目录 2.1.3 系统数学模型的描述级（水平） • 按照系统论的观点，实际系统可在某种级 （水平） 上被分解，因此系统的数学模型可以有不同的描 述级 （水平）： ① 性状描述级 （行为水平） • 性状描述级或称为行为描述级 （行为水平）。在 此级上描述系统是将系统看成黑箱，并施加输入 信号，同时测得输出响应，结果是得出一个输入- 输出对： 及其关系 R (,) : ,, (,) s   因此，系统的性状级描述只给出输入-输出观测结 果。其模型为五元组集合结构： S= （T，X ，Ω ，Y，R ） • 当ω，ρ 满足ρ =f (ω) 函数关系时，其集合结构变 为： S= （T，X ，Ω，Y，F ） (t) 黑盒