矩阵和向量的应用.ppt

第三章 矩阵和向量的应用 * 向量空间 一、向量空间及其子空间 1.定义：设V是n维向量的非空集合，如果V对于向量加法 及数乘两种运算封闭，即： 则称集合V为n维向量空间,简称为向量空间。 例如： 2.子空间：W、V 为 向量空间，若W? V，则 称 W 是V 的子空间。 如 都是 的子空间。 例： 只需证明 向量空间的基与维数 定义： 满足 基中所含向量个数 r 称为向量空间的维数。 基为 若向量空间的基为 向量在基下的坐标 定义：设 是向量空间V 的基， 注：1.向量在一组确定的基下的坐标是惟一的。（为什么？） 2.向量空间的基不惟一,因此,向量在不同基下的坐标也不一样。 你能推导出向量在不同基下的坐标变换式吗？ 详见参考书第59页。 3.向量在一组基下的坐标如何求？ 一般有两种求法：待定系数法与矩阵方程法。 线性方程组 一、齐次线性方程组 称为齐次线性方程组。 系数 矩阵 方程组的 矩阵形式 齐次线性方程组解的性质 显然是方程组的解；称为零解。 若非零向量 是方程组的解，则称为非零解， 也称为非零解向量。 性质1：齐次方程组的两个解的和仍是方程组的解。即： 性质2： 令 则V 构成一个向量空间。 称为方程组 的解空间。 若齐次线性方程组的解空间存在一组基 则方程组的全 部解就是 这称为方程组的通解。 由此可见，要求方程组的全部解，只需求出其基。 定义：若齐次方程组的有限个解 满足： 则称 也就是说，我们将解空间的基称为基础解系，此时，通解就是 基础解系的线性组合，即为： 齐次线性方程组基础解系的求法 1.行最简形矩阵： 设 r(A) =r n ,且不妨设A 中最左 上角的 r 阶子式不为零。则经有限 次行初等变换，矩阵 A 化为： 显然： 行最简形 为： 真未知量 自由未知量 由自由未知量 惟一确定 从推导过程可以看出：基础解系不惟一，但所含向量个数相等，都 等于 n - r(A). 综上有： 必须牢记：基础解系所含向量的个数为 未知数个数减系数矩阵的秩。 推论1：对齐次线性方程组，有 若 r(A)=n 则方程组有惟一零解; 若 r(A)=rn ，则方程组有无数多解，其通解为 例1：求方程组的通解 解： 同解方程组为 基础解系为 通解为 例2：求方程组的通解 同解方程组为 基础解系为： Ex: 推论2：n 元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系 数行列式为零。 二、非齐次线性方程组 系数矩阵 方程组的 矩阵形式 非齐次 方程组的 导出组 （1） 非齐次线性方程组的有解判定 引 进 向 量 方程组的向量方程 方程组（1）有解 非齐次线性方程组的解法 1.非齐次线性方程组解的性质 性质1：非齐次方程组（1）的两个解的差是它的导出组的解。 性质2：非齐次方程组（1）的一个解与其导出组的一个解的和是 非齐次方程组（1）的解。 2.非齐次线性方程组的通解 则非齐次方程组（1）的通解为 定理： 推论： 通解为 例1：求解方程组 有解 同解方程组为 所以 基础解系为 通解为 例2：求方程组的通解 同解方程组为 有解 基础解系为： 非齐次方程组的求解步骤 如何确定？ 注意什么？ 含参数的方程组 在求解方程组之前，要先确定参数值。——这是准则。 而参数值的确定，要依据有解的条件即： 一般而言，有两种方法确定参数值。 一种是行列式法，另一种是 初等变换法。 补充 不再是含参数 的方程组了。 不再是含 参数的方 程组了。 问题：此题能用行列式法求解吗？ 不能！ * * * * *