第一讲：变相同一法.pdf

文 武 光 华 第一讲 变相同一法 主讲人：田开斌 首先，我们来证明如下一个定理： 若x、y、α、β＞0，x +y = α + β ，且 = ，则x = α，y = β。 证明：因为x +y = α + β，所以： x − β = α −y （1） ( ) 又因为 = ⇒ sinx ⋅sinβ = siny ·sinα⇒ cos(x + β) −cos x − β = cos(α+y)−cos(α−y)⇒cosx+β=cosα+y，且 x+β+α+y=x+y+α+β＜2π，所以： x + β = α +y （2） 结合 （1）、（2）知，x = α，y = β。命题得证。 变相同一法就是基于以上的结论，利用三角形边长、角度、面积之间的相互联系，借 助三角函数，将此三者都转化为角度问题，通过证明 “角度相等”，进而解决平面几何中 有关点共线、线共点、角度相等、线段垂直等问题的一种方法。 下面我们从几道例题着手分析，讲解变相同一法的应用与变通。 例题选讲： 例 1、 （帕斯卡定理）如图，A 、B 、C 、A 、B 、C 为圆周上六个点，A B 与A B 交于点 D，A C 与A C 交于点 E，B C 与B C 交于点 F，求证：D、E、F 三点共线。 A2 A1 D E B2 B1 F C2 C1 证明：如下图，连接A A 、C C 、DE、FE，则： ∠DEA + ∠DEA = ∠FEC + ∠FEC 180° （1） ∠ ∠ ∠ 在△A A E中，由赛瓦定理的三角形式有 ∙ ∙ = 1，即