第二部分 难点突破——难点专题提升(最短路径问题).pdf

最短路径问题 考点解读 年份 题号 分值 难度 2013 年 28 题（2）小题 4 分 难 2014 年 28 题（3）小题 4 分 难 2015 年 19 题（2）小题 4 分 中 最短路径问题在近三年成都中考中都占了重要地位，都是在大题中结合题目的背景进 行综合考查，重在考查对学生知识应用能力。考查的基本类型有，线段和最小、差最大、 多条线段和最小、点到点的距离与点到直线距离之和最小、多条线路上速度不同时的最短 时间问题，这些问题大多是利用数形结合、转化思想将问题转化为两点间线段最短或者垂 线段最短来加以解决。 方法提炼 引例1.在如图所示的平面直角坐标系中，A 点的坐标为（0 ，3 ），B 点的坐标为（6，5 ）， （1）从x 轴上取一点P ，使其到A 、B 两点距离之和最 小，则P 点的坐标为 ．最小值为 ___________ （2 ）从x 轴上取一点P ，使PA −PB 最大，则P 点的| | 坐标为 ．最大值为___________ 解：(1)作A 关于x 轴的对称点C ，连接BC 交x 轴于P ，则此时AP+BP 最小， ∵A 点的坐标为（0 ，3 ），B 点的坐标为（6，5 ）， ∴C （0 ，﹣3 ）， 设直线BC 的解析式是：y=kx ﹣3， 把B 的坐标代入得：5=6k ﹣3， k ， 即直线BC 的解析式是y x ﹣3， 当y=0 时，0 x ﹣3， 解得：x ， ∴P 的坐标是（ ，0 ）， | | PA +PB 的最小值是PC 长，为10. 1 (2)连接AB，并延长BA 交x 轴于点P ∵A 点的坐标为（0，3），B 点的坐标为（6，5）， 1 ∴AB 的解析式为y= x +3 3 ∴P （-9,0） ∴PA −PB 的最大值是PA 的长，| | P 为3 10 √ 引例2.如图，∠AOB=45° ，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q、R 分别是OA、OB 上的动点，则 △PQR 周长的最小值为 10 。 解：如图，作出点P 关于OA 的对称点E ，作出点P 关于OB 的对称点F，连接EF，交OA 于Q，交OB 于R ．连接PQ ，PR ，PE ，PF ，OE，OF． 则PQ=EQ ，PR=RF ， 则△PQR 的周长=PQ+QR+PR=EQ+QR+RF=EF ． ∵∠AOP ∠AOE ，∠POB ∠FOB ，∠AOB ∠AOP+∠POB=45°， ∴∠EOF=90°， 又∵OE=OP ，OF=OP ， ∴OE=OF=10 ， 即△EOF 是等腰直角三角形， ∴EF OP=10 ， 所以△PQR 的周长的最小值为10 ． 2 引例3.已知直线 和 交于M 点，夹角为30º。点A 在 上且AM=10，P 是 上一动点，则P 1 2 1 2 到A 点的距离与到直线 的距离之和的最小值为____5 3______。 1 √ 解：作l 关于l 的对称直线l 1 2 3 Q 将PQ 关于l 对称得PQ 2 1 则PQ+AP 的最小值即为AP+PQ 的最小值