浅谈数学专业毕业论文柯西收敛.doc

　　浅谈数学专业毕业论文柯西收敛 浅谈数学专业毕业论文柯西收敛导读：级09级3班姓名论文题目cauchy收敛准则的应用指导教师潘虹职称讲师成绩20010年5月23日目录摘要…….............................................…1关键词.................................. 学年论文（本科） 学 院 专 业 数学与应用数学 年 级 09级3班 姓 名 论文题目 cauchy收敛准则的应用 指导教师 潘虹 职称 讲师 成 绩 20010年 5月 23 日 目 录 摘 要……. ............................................ …1 关键词 ................................................... 1 Abstract……. ........................................ …..1 Key it function, in the theorem that plays an important role. Key ∈N,对?m,ngt;M有xm?xnlt;?,或者对?n p∈N有xn?p?xnlt;?. 尽管用Cauchy收敛准则判断数列极限时并没有提供计算极限的方法，但它的长处也正在于此—在论证极限问题时不需要事先知道极限的值. 定理2.10（Cauchy收敛准则） 数列?an?收敛的充要条件是：对任 给的?gt;0, ?正整数N，使得当n mgt;N时有an?amlt;?. an?A，证明 [必要性] 设lim由数列极限定义，对???0,?N?0当n?? m,n?N时有am?A＜ ?? ，an?A＜，∴an?am?am?A+an?A＜?. 22 ?N＞0， [充分性] 按假设，对任给的?＞0，使得对一切n?N， 有an?am??，即在区间[aN??，aN??] 内含有中的所有项.据此令 111?? ?=，则?N1，在区间?aN?,aN??内含有?an?中的所有项，记此区间2 ? 2 2? 为??1,?1? 再令 ?= 111??，则存在，在区间内含有?an?a?,a?N?N??NN21222??222?? 11?? 几乎所有的项，记??2,?2???aN?2,aN?2????1,?1?，它也含有?an?中几 22?? 乎所有的项，且满足??1,?1????2,?2?及?2??2? 继续依次令?? 1 . 2 11，…, ,…,照以上方法得一闭区间列{[?n,?n]}232n 其中每个区间都含有 ?an? 中几乎所有的项,且满足 1 ??n,?n????n?1,?n?1?,n?1,2???,?n??n?2n?1?0,即???n,?n??是区间套。由 区间套定理，存在N＞0，使得当n＞N时有??n,?n??U??,??.因此在U??,??内含有?an?中除有限项外的所有项，这就证的liman??. n?? 例1 证明an? sin1sin2sinn??????收敛?n?1,2,???n?. 222 ?1? 证明:?m,n?N且???0,取N????1,则有 ?2??am?an? 111sin(n?1)sin(n?2)sinm ???…＜…???m n?1n?2n?1n?2m 222222 ?∴由Cauchy收敛准则知?an?收敛. 12 n (1? 2 )?m?n 1 1 ??. 2n 1．2 Cauchy收敛准则在证函数极限存在时的作用。 定理3.11（柯西准则）：设函数f在U??x0;??在内有定义，limf?x?存 n?? 在的充要条件是：任给?gt;0,存在正数?(??)，使得对任何x,x∈u0(x0;?)有 f?x???f?x????? 证明 必要性 设limf?x??A，则对任给的??0, ,存在正数 x?x0 使得对?x?U??x0;??有f?x??A??(??)，有 f?x???f?x????f?x???A?f?x????A? ? 2 于是对任何x,x∈u0(x0;?) ? 2 ? ? 2 ?? n?? 充分性 设数列?xn??U??x0;??且limxn?x0,按假设对任给 ?gt;0, 存在正数?(??)，使得对任何x,x∈u0(x0;?)有f(x)?f(x)＜?，由于xn?x0?n???，对上述??0,?N?0，使得当n,m?N时有