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第四章 第三节 协方差与相关系数
第三节 协方差及相关系数
一、协方差与相关系数的概念及性质
二、相关系数的意义
三、小结
一、协方差与相关系数的概念及性质
1. 问题的提出
若随机变量X Y 和 相互独立,那么
( D )X Y DX D Y
若随机变量X Y 和 不相互独立
D (X Y ) 2 ( DX)(D Y ) E X EX Y E Y
协方差
2. 协方差的定义
E( X EX)( Y称EY) 为随机变量X Y 与 的协方差.
Cov(记为, ) X Y
C ov( , ) X( Y E )(X 即EX ) Y EY
在平均意义上,若X 较大时 Y 也较大;X 较小时 Y
也较小,则 Cov(X ,Y) = E(X-EX)(Y-EY) 0,说明X 和 Y
有同向变动的趋势; 反之,说明X 和 Y 有反向变动的趋
势.
所谓X “较大”,就是说X 大于均值 EX.
易知,Cov(X ,Y) = Cov(Y, X)
3. 协方差的性质
(1) Cov(X , Y) E( XY) E( X ) E(Y)
—— 协方差的计算公式
证明
C ov( ,( ) X )(Y E )X EX Y E Y
E (XY XE Y YEX EXE Y)
EX Y E YEX EXE Y EXE Y
EX Y EXE Y
(2) ( ) ( ) D (X ) Y2 Cov(D X , )D Y X Y (上节已证)
方差与协方差比较
E( X EX) 2
DX E( X EX)( X EX)
EX EX( 2 ) 2
( E )XX EXEX
( )( E E )XY EYX
( Cov, )X Y
E XY ( EXEY)
DX = Cov(X ,X)
例1 设X 、Y 的概率分布如下,求Cov(X ,Y)
Y
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