第四章4.3协方差相关系数+4.4矩.pdf

前面我们介绍了随机变量的 数学期望和方差，对于多维 随机变量，反映分量之间关 系的数字特征中，最重要的， 就是现在要讨论的 协方差和相关系数 研究背景 在研究子女与父母的相象程度时，有一 项是关于父亲的身高和其成年儿子身高 的关系. 这里有两个变量，一个是父亲的身高，一个是成年儿子身高. 为了研究二者关系. 英国统计学家皮尔逊收集了1078个父亲 及其成年儿子身高的数据, 画出了一张散点图. 那么要问：父亲及其成年儿子身高是一种什么关系呢？ 类似的问题有： 吸烟和患肺癌有什么关系？ 受教育程度和失业有什么关系？ 高考入学分数和大学学习成绩有什么关系？ 为了研究诸如此类的两变量的相互关系问题， 我们需要从理论上对两变量的相互关系加以研 究. 研究背景 对于二维随机变量(X ,Y ): 已知联合分布 边缘分布 对二维随机变量,除每个随机变量 各自的概率特性外, 相互之间可能还有 某种联系. 问题: 用一个怎样的数去反映这种联系. D(X Y) E[X Y E (X Y)]2 E (X EX )2 E (Y EY )2 2E[(X EX )(Y EY )] D(X ) D(Y) 2[E (XY ) EX EY ] 若X,Y 相互独立， 这项为零 若这项不为零，则不相互独立，那么X与Y之间存在 什么关系？ 下面，我们将介绍刻划两r.v 间线性相关 程度的一个重要的数字特征： 协方差、相关系数 一、协方差（Covariance） 1.定义 量E {[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}称为随机变 量X 和Y的协方差,记为Cov(X ,Y) ，即 Cov(X,Y)=E {[ X-E(X)][ Y-E(Y) ]} 2.协方差性质 (1) Cov(X, Y)=Cov(Y, X); (2) Cov(X,X)=D(X); Cov(X,c)=0; (3) Cov(aX, bY)=abCov(X, Y), 其中a, b为常数； (4) Cov(X+Y,Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y, Z); (5) 2 2 D(C X C Y ) C DX C DY 2C C Cov(X ,Y ) 1 2 1 2 1 2 3、计算协方差的一个简单公式 由协方差的定义及期望的性质，可得 Cov(X ,Y)=E {[ X-E(X)][ Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y) 即 Cov(X ,Y)=E(XY ) -E(X)E(Y) 可见，若X 与Y 独立，Cov(X ,Y)= 0 . 特别地 Cov( X , X )  E ( X 2 )  E ( X )2  D( X ) 4. 随机变量和的方差与协方差的关系 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X ,Y) 二、相关系数（Correlation coefficient） 协方差的大小在一定程度上反 映了X 和Y相互间的关系，但它还受 X 与Y本身度量单位的影响. 为了克服这一缺点，对协方差进行标准化: Cov( X ,Y ) E{[ X  E( X )][Y E(Y )]}