数字特征与极限定理文档.DOC

第四讲 数字特征与极限定理 考试要求 1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数）的概念, 会运用数字特征的基本性质, 掌握常用分布的数字特征. 2．会根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望；会根据随机变量和的联合概率分布求其函数的数学期望. ．了解切比雪夫不等式. ．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大数定律） ．了解棣莫弗—拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）列维—林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）1. 定义（计算公式） 离散型, 连续型, 方差： 标准差：, 性质： 1° 2° 3° 4° 性质1° 2° 3° 4° 一般有 5° 【例】设试验成功的概率为, 失败的概率为, 独立重复试验直到成功两次为止. 试求试验次数的数学期望.【例】【例】 设随机变量X的概率密度为 对X独立地重复观察4次用Y表示观察值大于的次数求的数学期望【例】 离散型： 连续型 2、二维的情形 离散型 连续型 【例】 设X与Y独立且均服从N （0，1），求Z＝ 的数学期望与方差. 【例】设两个随机变量X与Y相互独立且均服从N （0，）, 试求Z＝｜X－Y｜的数学期望与方差 1、重要公式与概念：协方差 相关系数 性质： 1° 2° 3° 4° 5° 3、下面5个条件互为充要条件： 1） （2） （3） （4） （5） 【例】为独立同分布的随机变量, 且均服从, 记, 求: （I） 的方差； （II） 与的协方差; （III） 四、极限定理 1. 切比雪夫不等式　 2. 大数定律中心极限定理列维—林德伯格定理 ， 则对任意正数x，有 棣莫弗—拉普拉斯定理设 则有 . 【例8】 银行为支付某日即将到期的债券须准备一笔现金，已知这批债券共发放了500张，每张须付本息1000元，设持券人（1人1券）到期到银行领取本息的概率为0.4.问银行于该日应准备多少现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换. 【分析】 若X为该日到银行领取本息的总人数，则所需现金为1000X，设银行该日应准备现金x元.为使银行能以99.9%的把握满足客户的兑换，则 P（1000X≤x）≥0.999. 【详解】 设X为该日到银行领取本息的总人数，则X~B（500，0.4）所需支付现金为1000X，为使银行能以99.9%的把握满足客户的兑换，设银行该日应准备现金x元，则 P（1000 X≤x）≥0.999.由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理知： 即 得 x≥ 233958.798. 因此银行于该日应准备234000元现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换.