映射的连续性.DOC

对含摩擦和碰撞的多体系统关于初值连续性的研究 傅晋 王琪 （北京航空航天大学理学院，北京 100083） 摘要：讨论了包含碰撞和摩擦的多体系统对初值依赖的连续性。根据碰撞分离、纯滚动与滑动的转换将动力学过程分成多个阶段，在每一阶段系统运动对初值的连续性可以通过把微分代数方程转化为常微分方程并利用常微分方程解对初值的连续性来分析。相邻两个阶段的连接处可利用动力学原理进行分析。最后把所有的阶段串接起来就可以得一个对整个动力学过程的结果。 关键字：多体系统，摩擦，碰撞，初值连续依赖，几乎处处 引言 在实际应用中，往往要求一个动力学系统从给定的状态到达所期望的目标状态。当目标状态和可供选择的初状态均为一个集合时，由于在初始设置误差的存在，目标状态对初值依赖的连续性非常重要：只要初状态变化的不大，那目标状态就不会超出期望的目标状态集合。对于数值计算来说，解对初值的连续性也至关重要，因为如果没有连续性作保证，即使初值域遍历的步长再小，对于初值在步长中间时的结果我们也不能做任何估计。 此研究主要讨论了包含碰撞和摩擦的多体系统对初值依赖的连续性，这个连续性是通过定义一个在给定时间长度内从初值域到目标状态域的映射来定义的。映射的规则就是动力学规则，表示从初值域中某点出发，在动力学规则下于规定时间内到达的目标状态。根据碰撞分离、滚动与滑动的转换将动力学过程分成多个阶段；在每一阶段系统的运动遵循同样的微分代数方程，因此每一阶段上映射对初值的连续性可以通过把微分代数方程转化为常微分方程并利用常微分方程解对初值的连续性来分析。相邻两个阶段的连接处状态可能会发生跳跃比如碰撞，但仍然遵循相应的动力学规律，比如动力学普遍定理等。因此对这些点也可以利用动力学原理对初值的连续性进行分析。最后把所有的阶段串接起来就可以得到系统的一个完整的动力学过程。由于要求对初值依赖的处处连续是非常苛刻的，这里仅寻求一个几乎处处连续依赖的结果，并给出了相应的充分条件。 1 映射的定义及方程的形式 设是系统所在位形空间的坐标，记初状态集合为，目标状态集为，首先定义到的影射。， 在给定的时间内将会在状态空间中画出一个点集： 如果，就把刚进入时的值作为的像： 如果，就令。 有了如上的定义，就可以讨论的连续性了。设系统在运动过程中共受到个单面约束：。系统位形为时所有满足等号约束的集合记为：。根据接触点的相对速度是否为零可以把分为两类，中的约束对应的接触点相对速度不为零，中的对应接触点相对速度为零。 设在我们考察的时间区间内发生变化的次数是有限次的，记这些发生变化的时刻为。这些点把分成若干小段，在任一小段上约束集是不变的，系统运动遵循不变的微分代数方程，这些方程可转化为形式如下的常微分方程 （1） 这里我们假设，是的光滑函数。 设刚体表面都是光滑曲面，并且刚体接触都是点接触。不妨记两接触刚体为，接触点附近曲面上任一点的位置可记作，，其中和分别是接触点附近曲面的曲纹坐标。接触点的曲纹坐标和系统在这一时刻的位形有关，记为： 这里我们假设和对和各自的曲纹坐标有足够的光滑性，接触点的曲纹坐标对也有足够的光滑性。 两刚体上发生接触的那一点的相对速度我们用下式表示， 是不随时间改变的，所以微分中没有对的偏导，这表明我们关注的是刚体上固定点的相对速度。由的光滑性可知也光滑。 2 映射的连续性 下面的讨论要用到方形邻域，定义一点的方形邻域为： 这里可以是标量也可以是向量。 在时间段上，约束集和在和时发生了变化，记该段过程的可能初值范围为，取决于上一步的可能结束状态。中将导致优先发生零与非零转化的点集记为；将导致与对应的约束优先发生碰撞或分离的部分记为；将直接到达目标状态的部分记为；将什么也不发生直到到达时间的部分记为。很自然的可以据此构造一个映射，它作用在上，并将其中的点映射到相应的区域，例如中的点在作用下的像即为系统从该点出发运动到发生转化时的状态。设中不同区域的交线是的零测集，那么追求几乎处处连续的话就只需考虑各区域内部即可。 首先看中将导致接触点相对速度发生转化的区域，以接触点相对速度由非零变为零为例，记中的点运动到使变为零时所构成的区域为，设这段时间内系统从的内点运动到中，其运动遵守形如（1）的常微分方程组。记该方程组过点的解为： 则有，在中的邻域记为： 在中的邻域为： 连续性的讨论我们将使用函数连续的定义：，， ，有。 现在我们的任务就是对任给的找。由常微分方程组的知识可知： ，当初值满足时，过该初值的解： 在满足的解的存在区域中对是连续可微且唯一的。因此为了讨论方便首先我们要求：。 为了保证中的点能运动到中，我们首先要防止其在进入之前使变为零。记： 其中是一给定的正数，，，由和的连续性可知在上能取到极小值，不