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有效长度-汕头金山中学
陈雪宇同学的《“有效长度”并不总是有效》一文,严密地论述了导体在磁场中运动产生感应电动势问题中用“有效法”解题的局限性,并能归纳出其局限的范围。陈雪宇同学能正确地理解微积分与等效法等物理解题方法的关系,深刻地认识到科学的怀疑精神,在认识达到有一个新的高度。
指导教师:吴宏忠
“有效长度”并不总是有效
汕头金山中学 陈雪宇
中学物理由于数学知识的限制,往往采用一些等效法将较为复杂的物理问题简化,例如在非惯性参照系中引入等效重力,在多电源问题中采用等效电源简化为简单电源,弯曲导体在磁场中运动产生感应电动势问题中用“有效长度”化为直导线问题。然而这些等效法并不总是灵丹妙药,本文将论述“有效长度”在某种情况下失效。
中学物理在求解直线型导体在磁场中运动产生感应电动势的问题上,往往采用公式 ε=BVLsinθ(在V、B垂直的情况下,θ取L与BV平面的夹角)(见例1),并说明当导线上各点线速度不同时,V取平均线速度v(见例2),为了解决弯曲导体在磁场中运动产生感应电动势的问题,引入了“有效长度”的概念,即把弯曲导体等效为连接该弯曲导体两端的直导体,用该等效直导体的长度代入公式进行计算求感应电动势,这种方法在解决弯曲导体在磁场中作直线运动的问题上取得良好效果(见例3),在一些弯曲导体在磁场中旋转的问题也大大方便了计算(见例4),然而我们只要把例4中ω的轴旋转90度(见例5),则这种等效法就会导致错误。
例1:如图1所示,一长为L的直导线在磁感应强度为B的磁场中以速度V做直线运动,各值方向见图,求导线两端的感应电动势。
解:ε= BLVsinθ
例2:如图2所示,一长为L的直导线在磁感应强度为B的磁场中绕过其一端且与B平行的轴以角速度ω作旋转运动 ,各值方向见图,求导线两端的感生电动势。
解:平均速度v = (0 + Vmax)= ( 0 + ωL)
= ωL,
∵θ= 90°
则ε= BLvsinθ= BωL2
例3:如图3所示,一半径为R的圆的弧导体在磁感应强度为B的磁场中以速度V做直线运动,各值方向见图,求导线两端的感应电动势。
解:用等效法将圆的弧导体等效为该弧的弦导体,长L=√2 R,
∵θ= 90°,则ε= BLVsinθ= BV√2 R
例4:如图4所示,一半径为R的圆的弧导体在磁感应强度为B中绕过其一端且与B平行的轴以角速度ω作旋转运动 ,各量方向见图,求导线两端的感应电动势。
解:用等效法将圆的弧导体等效为该弧的弦导体,
长L=√2 R,θ=π,
平均速度
v = (0 + vmax)=( 0 + ωR )= ωR,
则ε= BLvsinθ=B·√2R·ωR·sinπ=BωR2
例5:如图所示,一半径为R的圆的弧导体在磁感应强度为B的磁场中绕过其一端且与B垂直的轴以角速度ω作旋转运动 ,各量方向见图,求导线两端的感应电动势。
解一(等效法):用等效法将圆的弧导体等效为该弧的弦导体,长L=√2 R,θ=π,
平均速度v =(0 + Vmax)=ωR,
则ε= BLvsinθ= B·√2R·ωR·sinπ=BωR2
解一似乎很简便,我们顺着从例1到例5的思路,似乎没啥不对的,然而,在下面采用的微分法和微积分法中,我们很容易看出它的破绽。
解二(微分法)假设在ω的垂直平面上有一与圆弧导体共(圆)心等(半)径的固定的圆形导体轨道,CO、和OE点有固定的直导体连接, 圆的C点固定,D点在圆形轨道上滑行,则CDEO形成一理想回路,以图示时刻为0时刻, 则CDEO回路的磁通量函数为
φ(t)= B·S(t)= B·πR2sin(ωt)
据法拉第电磁感应定律知感应电动势等于磁通量变化率,
则ε(t)=φ'(t)=[BπR2sin(ωt)] '
=πBR2sin'(ωt)=πBR2ωcos(ωt),
代入t = 0, 则有ε=πBR2ω。
如果我们按照等效法,将弧CD等效为弦CD,
则S等效(t)=R2 sin(ωt)。
与S(t)相差一个系数π,所以得出的ε等效=BωR2,与ε同样相差一个系数π。
如果嫌上述微分法太复杂,下面利用发电机的结论来解,原理上与微分法相同,而计算上简单得多。
解三(补
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