模式生成系统同宿环全局分岔问题研究-中国力学学会.DOC

模式生成系统同宿环全局分岔问题研究 岳宝增 北京理工大学理学院力学系，100081，北京 摘要：本文对一维Gray-Scott模型中脉冲自我复制的精细全局动力学结构进行了深入的数值探索并分析了奇异同宿稳定解及其分岔问题。结果发现和系统相应的常微分方程的解在余维2分岔时具有组织特征并由其产生和偏微分方程孤波解对应的2环或环同宿轨。通过对全局分岔图的分析揭示了自我复制系统动力学特性与参数空间中折叠分岔的层次结构密切相关。数值结果表明Bogdanov-Takens分岔点以及对应于某一同宿轨的角状形参数域对系统的周期轨、同宿轨全局分岔以及复杂混沌动力学具有决定性作用。数值仿真过程揭示了反应扩散系统中调制的2脉冲及多脉冲解的存在并伴随有脉冲自我复制及分裂过程。本文的所有数值结果由全局分岔延拓软件AUTO2000完成。 关键词：全局分岔，脉冲解，通俗环，反应扩散系统，模式。 1. 引言 动力学系统的全局分岔或同宿环分岔问题在诸多领域都有重要应用[1-30]。首先，同宿轨往往在其邻近扮演‘组织中心’的角色。在一定条件下，同宿轨的出现就意味着混沌或周期分岔行为的存在。其次，如果动力系统是以偏微方程表示的行波方程形式，其同宿轨则描述一孤波解—其在众多领域都有重要应用[1]。一种具有上述特性的典型系统是描述具有扩散机理以及变量之间非线性耦合效应的多分量模式的反应扩散系统。模式发生的现代理论源于1952年Turing教授的开创性工作—利用线性分析确定一般两变量反应扩散系统空间均匀状态不稳定性的门槛条件值。然而Turing方法仅限于空间近均匀状态的模式发生行为，无法预测在反应扩散系统经常发生的和同宿轨相对应的脉冲型解的稳定性及其动力学特性[2-7，14，15] 。Gray-Scott模型被认为是反映催化剂-培养基相互耦合作用的理想模型。其中，表示某种化学成分的变量可看作在反应过程中将要被变量消耗掉的培养基。大范围的抑制现象是由于成分的不断被消耗所引起的。激活现象的发生是由于在反应系统的微分方程中出现的补充源项。在Gray-Scott模型的发展完善过程中，一些学者作出了被认为具有奠基石意义的重要工作。Pearson和Swinney等人的数值仿真及试验工作促使发展新的分析方法以进一步理解该系统所发生的模式现象[14，15]。Doelman及其合作者在他们所发表的论文[2]及所发表的一系列后续论文中首次得到了分析结果。他们的分析工作从理论上解释了在一维Gray-Scott模型中所发生的脉冲型解的稳定性问题。数值工作及实验室工作揭示了反应扩散系统会导致自我复制模式的发生。具有此特点的基本模型是不可逆的Gray-Scott模型—该模型向人们展示了其蕴含的丰富多姿的新的模式发生现象；其中包括自我复制且最终演化为两维空间中的各种各样的渐进状态的斑图模式以及一维空间中的自我复制模式。众多学者在理论分析工作中同样给出了有价值的结论。例如Reynolds等人[16]借助于双渐进分析工具对Gray-Scott模型构造出了和自我复制现象密切相关的单斑图解并分析了其稳定性问题。Dolman等人[11,12]对于稳定单脉冲解的存在和稳定性问题开展了严格细致的研究工作由此得出该系统不可能存在传播脉冲。尽管上述工作对进一步开展该领域的研究工作具有开创性意义，但在另一方面，我们对产生自我复制动力学的机理却知之甚少。 本工作中，我们仅限于研究一维情形，主要探索可激活模式中单脉冲及多脉冲解的失稳及其向复杂转换动力学的过渡机理。本工作的主要内容包括：在第二节给出了尺度化后的Gray-Scott模型并且简要分析了其稳态的稳定性。第三节叙述了本工作所采用的数值方法并且给出了应用这种数值方法所得到的2脉冲及多脉冲全局分岔图。第四节包含一系列数值仿真结果，其中有脉冲自我复制现象，同宿环瀑布现象，调制的2脉冲解现象，以脉冲幅值震荡为主要特征的脉冲高度震荡不稳定现象以及以脉冲中心作慢周期漂移为主要重要特征的漂移震荡不稳定性。第五节（最后一节）阐明了全局分岔的重要机理并定量比较了本工作的数值仿真结果与应用分析工具所得到的解析结论并给出了简要结论。 2．系统地Gray-Scott模型方程 在本工作中，我们对于以下形式的一维Gray-Scott模型[3]中全局分岔问题进行了深入细致的数值及分析研究，关于Gray-Scott模型详细推导及早期研究可参考文献[5-7]。 （1） 对于所有参数A, B及D的正值，背景均匀平衡状态（）是稳定的。本文所研究的同宿轨或脉冲解都具有当变量而状态变量趋于这种基本平衡态的渐进特性。所谓的脉冲是指在自变量的非常窄小的取值间隔内，状态变量v远离背景平衡状态（）的一个巡游；一般情况下此时状态变量在该自变量取值间隔内并不趋于背景平衡态，而在此间隔外的区间上具有显著的变