热／均布载荷下功能梯度各向异性悬臂梁的解析解.DOC

热／均布载荷下 功能梯度各向异性悬臂梁的解析解 黄德进1，2，丁皓江1，陈伟球1 (1. 浙江大学 土木系，杭州 310027；2. 宁波大学 工学院，宁波 315211)E-mail: huangdejin@nbu.edu.cn, dinghj@zju.edu.cn, chenwq@zju.edu.cn Fax: 0574-8700421, Phone: 0574摘要：对功能梯度各向异性弹性悬臂梁在热载和均布分布载荷作用下的弯曲问题进行了研究，其材料常数可以是厚度坐标的任意函数，梁中的热传导问题为沿厚度方向的一维问题。从平面应力问题的基本方程出发，假定应力函数为梁长度方向的多项式形式，由应力函数求导给出应力，利用协调方程和边界条件可完全确定应力函数。并给出了一个算例以说明本研究方法的应用。 关键词： 功能梯度；平面应力问题；热应力；解析解 1 引言 梯度功能材料(FGM)是材料组分在空间上按连续梯度变化规律合成的材料。材料的性质可以按需求进行设计，以提高其强度，韧性和承受高温等能力。与传统层合材料相比，FGM材料内部不存在明显的材料性能界面,从而消除或明显地弱化了材料内部严重的应力集中现象。因此，梯度功能材料在宇航、核能等现代工程中具有广阔的应用前景。 近二十年来，针对FGM结构材料，发展了梁、板、壳的传统经典理论、一阶剪切理论以及高阶理论[1-3]，对于具有特殊几何形状以及简支边界的功能梯度板壳结构,获得了一批三维弹性力学解[5-7]，以及板梁等二维问题的解析解[8-11]。Sankar等研究了功能梯度变化为指数形式的正交各向异性简支梁的热弹性问题，给出了解析解[12]。而对于各向异性功能梯度梁，其材料的功能梯度变化规律是任意函数形式的热弹性问题研究，还未见报道。本文研究了功能梯度各向异性悬臂梁在热载和均布载荷作用下的弯曲问题，其材料常数可以是厚度坐标的任意函数，梁中的热传导问题为沿厚度方向的一维问题，得到了应力和位移的解析解，并给出了一个算例。 2 基本方程和边界条件 假设一FGM各向异性悬臂梁处于平面应力状态，如图1所示，梁的上表面受均布载荷作用，整体初始温度为，外界温度发生变化，达到稳定后，上下表面分别保持常温和，悬臂梁内各点的温度T与xt无关，并假设梁的两端和前后侧面为绝热状态，因此梁中的热传导问题为沿厚度方向的一维问题。梁的材料为沿梁厚度方向的功能梯度各向异性材料，即，材料的弹性柔度系数 ，热传导系数。其基本方程为 (1) 温度场边界条件如下式所示， (2) 力学基本方程[13] (3) (4) (5) 式中，和是应力分量，，和是应变分量，u和v是位移分量， (6) 由式(4)可以导出应变协调方程 (7) 上下表面的力学边界条件为 (8) 左端的边界条件为 (9) 式中和分别为梁左端的轴力，弯矩和剪力。梁右端的固支边界条件为 (10) 3 确定温度场和应力函数法 首先求解方程(1)，利用式(2)后得到梁中的温度场为 (11) 其次，为了满足方程组(3)，引入应力函数，将应力表示为 (12) 进一步可设应力函数具有如下形式 (13) 式中和为待定函数。将式(13)代入式(12)得 (14) 将式(14)代入(5)后，再代入(7)，可推出如下方程组 . (15) 由式(15)1积分可得 (16) 式中和下文中为积分常数，以及 (17) 将式(16)1和(16)2代入(15)2，积分并整理后得 (18) 式中 (19) 将式(16)，(18)1和(18)2代入式(15)3，积分2次后得 (20) 式中和为新的积分常数，以及 (21) (22) 4 轴力，弯矩，剪力和位移 由式(14)1和(14)3积分可得梁左端的轴力，弯矩和剪力 (23) 将式(16), (18)1, (18)2, (21)1代入(14)，再代入(4)，积分后可得位移 (24) 式中和为积分常数。 5 确定应力场和位移场 将式(16)2，(16)3和(18)2代入(14)2和(14)3，再代入(8)，可得 (25) 将式(23)代入(9)可得 (26) 由式(25)4和(25)6可解得和，然后可由式(25)5和(26)3可解得和，再由式(26)1和(26)2可解得和。这样都已确定，则应力函数已完全确定，按式(12)则应力场完全确定。 将式(24)代入(10)得3个方程，可由这3个方程求解和。这样位移u和v也完全确定。 6 算例 在算例中，取梁的跨度为 ，高度为，单位厚度，均布载荷 ，初始温度为，平稳后上表面温度为，下表面温度。假定功能梯度材料的弹性柔度系数，热膨胀系数和热传导系数沿厚度方向