复数与平面几何题(潘成华、周文化).docVIP

用复数解平面几何题的尝试 宿迁市泗洪县育才实验学校 周文化 文武光华数学工作室 潘成华 【摘要】用复数法解决某些平面几何题往往显得简洁而特别，尤其是那些规则的，容易得出较简洁表达式的问题。本文通过具体的问题谈谈对复数解平面几何题的若干尝试。 关键词 复数，共轭复数，平面几何 为使符号表示简明，文中约定使用复数时，①用表示“”，代替通常的写法，②表示复数的共轭复数，③引入符号“”与“”： 表示Re(x)=Re(y),即复数x,y的实部相等；表示Im(x)=Im(y),即复数x,y的虚部部相等. 由此约定不难得出，“p是实数”等价于“p0” ，“p是纯虚数”等价于“p 0”. 命题1. 设，，其中，； (1) ； (2) . 证明：只证充分性 （1）当时，易知；由可得， 故， 于是Re ()==0，即，再由共轭复数的性质可得. (2)由(1)可知， 当时，易知， ∴Im ()==0，即，再由共轭复数的性质可得. 注：实际上的实部、虚部分别对应于向量与的内积、外积. 命题2.△与△顺向相似(对应点的排列顺序相同)的充分必要条件可以是下列条件中的任一个： ① ，②，③， ④且. 证明：只证充分性，设即证. 注：对顺向相似中任意两组对应的有向线段，都显然有 ,,，，成立. △与△反向相似(对应点的排列顺序相反)的充分必要条件可以是下列条件中的任一个： ①，②，③， ④且. 证明：只证充分性，设即证. 注：对反向相似中任意两组对应的有向线段，都显然有 ,,，，成立. 命题3. 若AB∥CD，Q是直线CD上的任一点，则Im（）= Im（﹣）为定值. 证明：只需证Im（）为定值. ， 由可得 ， ∴, 即Im（）为定值. 特别的，当Q在直线AB上时，Im（）= Im（﹣）= Im（）= Im（）。 命题4. 若AB⊥CD，Q是直线CD上的任一点，则Re（）= Re（）为定值. 证明：只需证Re（）为定值. ， 由 可得 ， ∴, 即Re（）为定值. 借助上述命题和复数的其他知识解决一些问题时思路往往显得很新颖直接. 问题1.已知：△ABC与△ADE反向相似，M、N分别是BD、CE的中点，BE、CD交于点X. 求证：（1）AX//MN.（2）若∠ABC=∠ADE=90O ，则AX⊥BD 证明：（1） 因此，AX//MN。 （2） ∴,进而. 问题2. 已知：Ｏ、Ｈ分别是△ABC的外心、垂心，D、E是AB、AC的中点，CF⊥AB于F，BG⊥AC于G， DE、FG相交于P； 求证：AP⊥OH 证明：由外心、垂心的性质易得； 由D、E是AB、AC的中点，CF⊥AB于F，BG⊥AC于G可得△ADE∽△AGF∽△ABC，DE∥BC，于是又有AH⊥DE. ∴，可得； ∴， 可得. 问题3. （田开斌老师题）已知：□ABCD中，CE、DF分别垂直BD、AC于E、F，FE与BA相交于G； 求证：OG⊥AD. 证明：分别过C、D作CM、DN垂直于OC、OD，且交OD、OC于M、N， 易知CE∥DN，DF∥CM，MN∥EF，Rt△EOC∽Rt△DON, Rt△FOD∽Rt△COM， 可得，； ∴ 而 ， ∴OG⊥AD。 问题4. （叶中豪老师题）已知:矩形ABCD内接于⊙O，E、F分别是BC、CD上的点，BF、DE相交于P，AP交⊙O于G； 求证：EG⊥FG 证明：连接CG，易知CG⊥AG，则 由AP⊥CG可知 ； 而， 所以原命题得证. 问题5. （叶中豪老师题）已知：AB=AC，M是BC上一点，过点M作MD、ME分别交AB、AC于D、E，且使得∠BMD=∠CME， O、P、Q分别是BC、DE、AM的中点； 求证：O、P、Q在同一直线上. 证明：易知△BMD∽△CME， ， ∴O、P、Q在同一直线上. 问题6. 已知：如图，△ABC∽△ADE，G、H分别是它门的垂心，直线CD、EB交于点M； 求证：AM⊥GH. 证明：由相似三角形及垂心的性质易知，其中k为实数， 因此，； . 当MCD、MEB共线时，， 可得，原命题得证. 另一种表达方式： 以A为原点，B=1建立复平面，可设C、D、E对应的复数分别为； 因此，为纯虚数为实数； 显然为实数，原命题得证。 以上6个问题的解决基本上是借助命题3或命题4将问题归结至相似三角形中，再由命题2作出判断. 比较多的依赖于几何图形的形式，而更多的时候我们会充分借助其“数”的特征，用“数”来反映几何图形中的关系,再通过“数”的“运算”达成目的。 问题7. （潘成华老师题）已知正方形ABCD、AEFG，P、Q、R分别是BF、AE、CG的中点，求证：PQ=PR且PQ⊥PR 证明：∵ ∴,且. 问题8. （潘成华老师题）已知：M、N分别是正方形ABCD、AEFG的中心，P、Q分别是C