12面积问题存在性问题解题.doc

面积问题专题 1、（2009年益阳市）阅读材料： 如图12-1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题： 如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B. (1)求抛物线和直线AB的解析式； (2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及； (3)是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由. 20．解：(1)设抛物线的解析式为： 1分 把A（3,0）代入解析式求得 所以 3分 设直线AB的解析式为： 由求得B点的坐标为 4分 把，代入中 解得： 所以 6分 (2)因为C点坐标为(１,4) 所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2 所以CD＝4-2＝2 8分 (平方单位) 10分 (3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h， 则 12分 由S△PAB=S△CAB 得： 化简得： 解得， 将代入中， 解得P点坐标为 14分 2.（2011安徽芜湖）平面直角坐标系中，如图放置，点A、C的坐标分别为、，将此平行四边形绕点O顺时针旋转，得到. （1）若抛物线过点,求此抛物线的解析式; （2）求和重叠部分的周长; （3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时△的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点的坐标. 【答案】 解: （1）∵由旋转得到，且点A的坐标为， ∴点的坐标为. ……………………………………1分 所以抛物线过点.设抛物线的解析式为，可得 解得 ……………………4分 ∴ 过点的抛物线的解析式为. ……………………5分 （2）因为，所以. 所以.又, , ∴△∽△. 又.………………7分 ∴. 又△的周长为， 所以△的周长为.………………9分 （3）［解法1］连接，设M点的坐标为， 因为点M在抛物线上，所以，………10分 所以 ……………12分 因为，所以当时，. △的面积有最大值…………13分 所以当点M的坐标为时，△的面积有最大值，且最大值为…14分 [解法2]设直线的解析式为，∵点的坐标分别为，∴ 解得 ∴.…10分 将直线向右平移，当直线与抛物线只有一个交点M时与y轴交于点P，此时最大，设平移后的直线的解析式为：，则有： 得， 令，得. ∴.解得 ∴点坐标为,点P的坐标为.…12分 因为MP∥,所以△与△同底等高，它们面积相等. 故. 所以当点M的坐标为时，△的面积有最大值，且最大值为 ……14分 3．（2010甘肃兰州）（本题满分11分）如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E（4,0） （1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？ （2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）. ① 当时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由； ② 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由． 【答案】解：（1）因抛物线经过坐标原点O（0,0）和点E（4,0） 故可得c=0,b=4 所以抛物线的解析式为…………………………………………1分 由 得当x=2时，该抛物线的最大值是4. …………………………………………2分 （2）① 点P不在直线ME上. 已知M点的坐标为(2,4)，E点的坐标为(4,0)， 设直线ME的关系式为y=kx+b. 于是得 ，解得 所以直线ME的关系式为y=-2x+8. …………………………………………3分 由已知条件易得，当时，OA=AP=，…………………4分 ∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8. ∴ 当时，点P不在直线ME上. ……………………………………5分 ②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5 ∵ 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上， ∴