Chapter3一阶微分方程的解的存在定理.doc

第三章 一阶微分方程的解的存在定理 本章重点介绍和证明一阶微分方程的解的存在唯一性定理,并叙述解的一些性质,如解的延拓,解对初值的连续性和可微性等. 教学目的 1.掌握可分离变量方程的解法； 2.掌握齐次型方程的解法。 教学重点、难点 可化为齐次型方程的解法； 教学时数 12学时 §3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 教学目的 1.理解存在唯一性定理； 2.了解逐步逼近法。 教学重点、难点 存在唯一性定理与逐步逼近法； 教学时数 4学时 教学过程 3.1.1 存在唯一性定理 1. 考虑导数已解出的一阶微分方程 f(x,y) 在矩阵区域 R | x(x0 | ( a, | y(y0 | ( b 上连续. 利普希茨条件 若对函数 f(x,y) 存在常数 L0 ,使得对所有 (x, y1), (x, y2) (R 都成立不等式 | f(x,y1)( f(x,y2) | ( L| y1( y2 |,则称函数 f(x,y) 在 R 上满足利普希茨条件. 定理1 如果f(x,y) 在矩形区域 R 上连续且关于 y 满足利普利茨条件,则方程(3.1)存在唯一的解y=((x), 定义于区间 | x(x0 | ( h 上,连续且满足初值条件 ((x0)=y0. . 采用皮卡(Picard)的逐步逼近法来证明.区间取为 x0(x(x0+h. 皮卡逐步逼近法(思路) (1)证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程的连续解; (2)取一连续函数 (0(x) 进行迭代求解,构造函数序列: (0(x), (1(x), (2(x),… (n(x); … (3)如果上述过程可无限地进行,则证明此过程构造的函数列收敛于某一连续函数((x); (4)证明上述解是唯一的; 命题1 设y=((x)是方程(3.1)的定义于区间 x0(x(x0+h 上,满足初值条件 ((x0)=y0 的解,则 y=((x) 是积分方程 的定义于 x0(x(x0+h 上的连续解,反之亦然. 证明：“=”由y=((x)是方程(3.1)的定义于区间 x0( x ( x0+h 上,满足初值条件 ((x0)=y0 的解有 两边从x0到x积分可得 将初始条件 ((x0)=y0 代入即得到 所以y=((x)是积分方程(3.5)的定义于 x0(x(x0+h 上的连续解. “=”设y=((x)是积分方程(3.5)的定义于 x0(x(x0+h 上的连续解,则有 两边对x求导得 又上述积分方程显然满足初始条件,所命题成立. 现取 (0(x)=y0 ,构造皮卡逐步逼近函数序列: 命题2 对于所有的 n,函数 (n(x) 在 x0(x(x0+h 上有定义,连续且满足不等式 | (n(x)(y0 | ( b. 证明： (用数学归纳法) 当 n=1 时, ,显然在x0(x(x0+h 上是有定义,并是连续的; 并且 ,命题成立; 假设命题当 n=k 时成立,即 在x0(x(x0+h 上是有定义、连续用满足 则 由于(k(x)的连续性,知(k+1(x)在x0(x(x0+h 也显然上是有定义和连续的. 并且 所以当n=k 时命题也成立,从而命题2对一切 n(( 都成立. 命题3 函数序列 {(n(x)} 在 x0(x(x0+h 上是一致收敛的. 证明：由级数与数列的关系:级数收敛等价于部分和数列收敛. 考虑级数,它的部分和恰为 因此要证明函数序列 {(n(x)} 在 x0(x(x0+h 上一致收敛只须证明上述级数一致收敛即可. 由于函数f(x,y)对y满足利普希茨条件 | f(x,y1)( f(x,y2) | ( L| y1( y2 | 则有 同理 设对正整数 k 有 则对正整数 k+1 有 从而由数学归纳法知对任一正整数 n 有 从而对级数而言有 上式是收敛的正项级数,因此由M判别法(魏尔斯特拉斯判别法)知,左端的级数收敛,故函数列 {(n(x)} 在 x0( x (x0+h 上一致收敛. 命题4 ((x)是积分方程(3.5)的定义于 x0(x(x0+h 上的连续解. 证明：因为函数列{(n(x)}一致收敛于((x),加之利普希茨条件 | f(x, (n(x))( f(x, ((x)) | ( L| (n(x)( ((x) | 可知函数列{ f(x, (n(x))}收敛于f(x, ((x)). 因此,两边取极限有 所以((x)是积分方程定义于 x0(x(x0+h 上的连续解. 命题5 设 ((x) 是积分方程(3.5)的定义于 x0(x(x0+h 上的另一连续解,则 ((x)= ((x). 证明:由命题1可知 只要证明 ((x) 也是函数列 {(n(x)} 的极限函数即可. 由于 假设对正整数 n(1 时有 则对正整数 n 有 因此,由数学归纳法可和,上述公式对所有正整数都成立. 即 上式右端是收敛级数的