函数方程的归类与求解.doc

函数方程归类与求解 目录 【摘要】 2 【关键字】 2 【正文】 2 一、函数方程相关概念 2 二、函数方程分类 3 1．按元分 3 2．按阶分 3 3．按次分 3 4．按未知函数的个数来分 3 5．其他 3 三、函数方程的常用解法 3 1、赋值法 3 2、柯西法 4 3、待定系数法 6 4、代换法（换元法） 7 5、递推法 7 6、不动点法 8 7、解方程组法 9 8、数学归纳法 10 9、参数法 11 10、微积分程法 11 11、数列法 12 12、反证法 12 四、结束语 13 五、参考文献 13 【摘要】含有未知函数的等式称为函数方程，解函数方程的问题，就是求能使函数方程成立的一个函数或一类函数的集合，解函数方程没有一般的方法，需要有较强的解题技能和技巧，本文通过例题介绍函数方程的几种常见解法。而对于函数方程，本文给出了按元分，按阶分，按次分，按未知数个数分以及其他的分类方法。函数方程的思想反映了数学内部各个分支的密切联系与逻辑思维，研究函数方程的解法不仅可以拓展对函数概念更深层的理解，而且对函数在实际生活中的应用具有一定的指导作用。 【关键字】函数方程 分类 解法 赋值法 柯西法 递推法 【正文】 一、函数方程相关概念 在初等数学中遇到的所有方程(不外乎代数方程和超越方程两类)，都可以定义为含有未知数的等式，例如、（）、。在以上列举的方程中，作为未知的变量是一个或几个特定的数值(当然，也可能无解)，我们不妨称这类方程为“数值方程”．这样看来，在中学数学中所讨论的各种方程都应该是所谓的“数值方程”。还有一类方程，在这类方程中作为未知的变量而要我们去求解的不再只是数值而是一个或一类函数，这种方程通常被称为函数方程，例如、、、等。其中(x) 是未知函数函数方程的定义 含有未知函数的等式函数方程。 函数方程的解是该函数方程的解函数或解。 3、解函数方程求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程、、是二元函数方程。 2．按阶分 函数方程中未知函数经过几次迭代，就称其为几阶函数方程，如 就是二阶函数方程，其中。 3．按次分 函数方程中未知函数的最高次项的次数是几，就称其为几次函数方程，如就是一个二阶三次函数方程． 4．按未知函数的个数来分 如、、都是含一个未知函数的函数方程；又如函数方程中就含有三个未知函数、、。 同“数值方程”类似，几个函数方程也可以组成函数方程组． 5．其他 对于其他一些特殊类型的函数方程(即具有一定特殊结构的函数方程)，则有其特殊的名称。如多项式函数方程、迭代式函数方程、共轭型函数方程 ① 证明：1） 2） 3） 证明：1）令（则） 代入①得 ∴ ∴ 即 2）时，有，只须即可） 令，则有 ∵不恒为零，∴使，取，则 3）令，则 即 证毕 例2、，求解函数方程 解：令，得 当1、，令，解得 2、，令， ∴ 为任意实数 常见的赋特殊值有0，-1,1等。此方法的特点是当函数方程的自变量多于一个时，将其中的一个或者几个自变量用一些特殊值代入，常常可以简化方程，或求得未知函数在某些特殊点的值，这样能够得到化难为易的效果。 2、柯西法若f(x)是单调（或连续）函数且满足 、则推出相同结果） 证明： 首先由数学归纳法可得 特别当时， 1、时，取，则 （设） 时， 2、时 ，即时， 3、时，取，则 即时， 4、时，构造满足 则 综上述， 许多函数方程都可以通过适当方法转化为柯西函数方程求解 是的连续函数，且不恒为0，,解。 解：，则 假设存在使，则 与不恒为0矛盾 故，对两边取对数有 令，则，且是连续函数 故是柯西函数方程 则（c为常数） 即则，其中 类似的，利用柯西函数方程的解，在连续或单调的条件下可得： 　　（1） 若,则 　　（2） 若 ,则(由初值给出) 　　（3） 若,则（4） 若,则待定系数法　当函数方程中的未知数是多项式时，此法经比较系数而得 例、已知是一次函数，且。，求 　解：设，则 　　　　 　　依次类推有：由题设知： ， 　　∴， 或 　　∴ 或 代换法换元法）程中的变量变换方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数 例1：已知，求 解：令，则 值得注意的是：在使用换元法时，最好要要遵循有利于运算的基本原则，还需注意的是换元后勿忘还原，而且换元后要注意变量范围的确定，一定要使新变量的取值范围相对应于原变量的取值范围，不能扩大也不能缩小。 5、递推法 从函数方程出发，由简单