7微分法在几何上的应用.pptVIP

* 微分法在几何上的应用 一、空间曲线的切线和法平面 定义 设 M 是空间曲线 L 上的一个定点, M*是 L 上的一个动点, 当M* 沿曲线 L 趋于M 时 , 割线MM* 的极限位置 MT （如果极限存在） 称为曲线 L 在 M 处的切线 下面我们来导出空间曲线的切线方程 Ⅰ。设空间曲线的方程 (1)式中的三个函数均可导.且 导数不同时为零 考察割线趋近于极限位置——切线的过程 上式分母同除以 曲线在M处的切线方程 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 法平面：过 M0 点且与切线垂直的平面. 解 切线方程 法平面方程 Ⅱ。空间曲线方程 取 x 为参数 法平面方程为 Ⅲ。空间曲线方程 切向量 切线方程 法平面方程为 所求切线方程为 法平面方程为 二、曲面的切平面与法线 Ⅰ。设曲面方程为 在曲面上任取一条通过点M的曲线 曲线在M处的切向量 令 则 切平面方程为 法线方程为 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 曲面在M处的法向量即 Ⅱ。空间曲面方程形为 令 曲面在M处的切平面方程为 曲面在M处的法线方程为 因为曲面在M处的切平面方程为 切平面上点的竖坐标的增量 其中 解 切平面方程为 法线方程为 解 令 切平面方程 法线方程 解 设 为曲面上的切点, 切平面方程为 依题意，切平面方程平行于已知平面，得 因为 是曲面上的切点， 满足方程 所求切点为 切平面方程(1) 切平面方程(2) 例6 在椭球面 上求一点， 使它的法线与坐标轴正向成等角 解 令 则 注意到法线与坐标轴正向的夹角 相等 故 解得 所求的点为 的法线的方向向量为 故椭球面上任一点 例7 设 z = z ( x , y )由方程 确定， 其中f ( u , v )可微 证明 z = z ( x , y ) 表示锥面 为曲面上一点 则连接 PP0 的 直线的方程为 证