数学建模第五章微分方程模型专用课件.ppt

线性常系数非齐次方程 对应齐次方程通解 模型建立 几种常见的给药方式 1.快速静脉注射 t=0 瞬时注射剂量D0的药物进入中心室,血药浓度立即为D0/V1 给药速率 f0(t) 和初始条件 2.恒速静脉滴注 t T, c1(t)和 c2(t)按指数规律趋于零 药物以速率k0进入中心室 0 T t ￡ ￡ 吸收室 中心室 3.口服或肌肉注射 相当于药物( 剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室 吸收室药量x0(t) 参数估计 各种给药方式下的 c1(t), c2(t) 取决于参数k12, k21, k13, V1,V2 t=0快速静脉注射D0 ,在ti(i=1,2,?n)测得c1(ti) 由较大的 用最小二乘法定A,? 由较小的 用最小二乘法定B,? 参数估计 进入中心室的药物全部排除 过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系 人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中哪些因素影响大，哪些因素影响小。 模型分析 分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立吸烟过程的数学模型。 设想一个“机器人”在典型环境下吸烟，吸烟方式和外部环境认为是不变的。 问题 5.5 香烟过滤嘴的作用 模型假设 定性分析 1）l1~烟草长， l2~过滤嘴长， l = l1+ l2， 毒物量M均匀分布，密度w0=M/l1 2）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比是a′:a, a′+a=1 3）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的(单位时间)吸收率分别是b和? 4）烟雾沿香烟穿行速度是常数v，香烟燃烧速度是常数u， v u Q ~ 吸一支烟毒物进入人体总量 模型建立 0 t=0, x=0，点燃香烟 q(x,t) ~ 毒物流量 w(x,t) ~ 毒物密度 1) 求q(x,0)=q(x) t时刻，香烟燃至 x=ut 1) 求q(x,0)=q(x) 2) 求q(l,t) 3) 求w(ut,t) 4) 计算 Q 结果分析 烟草为什么有作用? 1）Q与a,M成正比， aM是毒物集中在x=l 处的吸入量 2) ~过滤嘴因素，?, l2 ~ 负指数作用 是毒物集中在x=l1 处的吸入量 3）?(r)~ 烟草的吸收作用 b, l1~ 线性作用 带过滤嘴 不带过滤嘴 结果分析 4) 与另一支不带过滤嘴的香烟比较，w0, b, a, v, l 均相同，吸至 x=l1扔掉 提高 ?-b 与加长l2，效果相同 第五章 微分方程模型 5.1 传染病模型 5.2 经济增长模型 5.3 正规战与游击战 5.4 药物在体内的分布与排除 5.5 香烟过滤嘴的作用 5.6 人口预测和控制 5.7 烟雾的扩散与消失 5.8 万有引力定律的发现 动态模型 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 微分方程建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程 5.1 传染病模型 问题 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型 已感染人数 (病人) i(t) 每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为? 模型1 假设 若有效接触的是病人，则不能使病人数增加 必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 建模 ? 模型2 区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 假设 1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 2）每个病人每天有效接触人数为?, 且使接触的健康人致病 建模 ? ~ 日 接触率 SI 模型 模型2 1/2 tm i i0 1 0 t tm~传染病高潮到来时刻 ? (日接触率)? ? tm? Logistic 模型 病人可以治愈！ ? t=tm, di/dt 最大 模型3 传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染 增加假设 SIS 模型 3）病人每天治愈的比例为? ? ~日治愈率 建模 ? ~ 日接触率 1/? ~感染期 ? ~ 一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。 模型3 i0 i0 接触数? =1 ~ 阈值 感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数 1-1/? i0 模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例 i di/dt 0 1 ? 1 0 t i ? 1 1-1/? i 0 t ? ?1 di/dt 0 模型4 传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者 SIR模型 假设 1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为 2）病人的日接触率? , 日治愈