A函数的极限.ppt

例题讨论 二、 例题讨论 课外作业 习题 1-3(A): 1(1, 3), 2 (2, 3), 6 §4 . 无穷大 与 无穷小 课外作业 例5： 证明 证： 得证。 三、函数极限的性质 1. 唯一性 2. (局部)有界性 3. (局部) 保号性 若 lim f (x) = A , 则 A 唯一。 A 0 , ( 或 f (x) 0 ). (或 A 0), 四、 左、右极限 0 x y 。 A x0 讨论 x 仅从 x0 的左侧或仅从 x0 的右侧 趋向 x0 时，f (x) 的变化趋势。 x0 若 x 是从 x0 左边( x x0) →x0 时极限A存在， 则 A 称为 x→x0 时 f (x) 的 左极限，记作 若 x 是从 x0 右边( x x0) →x0 时极限A存在， 则 A 称为 x→x0 时 f (x)的 右极限，记作 (x x0) (x x0) 左极限与右极限又统称为 单侧极限 。 例1： 0 x y 1 。 解： 例2： 0 x y -1 解： 习题 1-3(B): 1(1), 3, 4 一、无穷小 若 A = 0 ， 分析定义： 即若 无穷小(量)。 说明： (1) 无穷小不是一个数(或一个很小的数), 而是在自变量的某一变化过程中，以0为 极限 的 变量。 如： (2) 0 是无穷小中 唯一的数。 无穷小与函数极限的关系 定理1. 反之亦成立。 证： 二、无穷大 分析定义： ——“M — δ ” 定义 (“M — X ”定义) 记作 无穷大(量)。 说明： (1) (2) (3) 无穷大不是一个数，也是一个变量，是 表示函数的一种越来越大的趋势，称其 极限为无穷大。 但此时函数的极限实质上并不存在。 无穷大量 必 是 无界变量， 无界变量 不一定是 无穷大量。 * ？ ？ x 连续地 → ∞ x 连续地 → x0 ( +∞? -∞? ) ( 从左？从右？) 一、 1. n : 跳跃→∞ x : 连续→∞ 定义： 几何解释： 即在区间（X，+∞）内，f (x) 的图形全落 在一个由 y = A - ε, y = A+ ε 构成的带形域内。 x y 0 A X 类似定义 2. 即在区间（-∞, -X）内，f (x) 的图形全落 在由 y = A – ε , y = A + ε 构成的带形域内。 3. x y 0 f (x) A X – X 其相应的曲线上的点 落在绿色区域内. x 趋于无穷大时的极限 ?A的?邻域, ? X 0, A+? A–? 对满足 |x| X 的一切点 x, x y 0 f (x) X – X A 其相应的曲线上的点 ?A的?邻域, ? X 0, . x 趋于无穷大时的极限 对满足 |x| X 的一切点 x, 落在绿色区域内. x y 0 f (x) X – X A 其相应的曲线上的点 ?A的?邻域, ? X 0, . x 趋于无穷大时的极限 对满足 |x| X 的一切点 x, 落在绿色区域内. x y 0 f (x) A X – X 其相应的曲线上的点 ?A的?邻域, ? X 0, . x 趋于无穷大时的极限 对满足 |x| X 的一切点 x, 落在绿色区域内. x y 0 f (x) A X – X X – X X – X X – X X – X X – X 此类极限定义也称 函数极限的? — X定义 其相应的曲线上的点 ?A的?邻域, ? X 0, . x 趋于无穷大时的极限 对满足 |x| X 的一切点 x, 落在绿色区域内. 例1. 证： 则当 x X 时， ∴得证。 例2. 证： 0 x y 1 取 X = －l n ε ( 即 –X = l n ε ) 则当 x － X 时， ∴得证。 同理， 0, 例3. 证： ∴得证。 例4. 证： 利用不等式 ∴得证。 0 x y -1 1 2 4 。 当 x 无限趋近 1 时， f (x) 无限趋近于 4 ， 即 x 与 1 的距离 无限缩小时，f (x) 与 4 的距离 也无限缩小。 只需 … … … 1. 定义： 则称常数 A 为 f (x) 当 x →x0 时的极限，记作 (1) (2) (4) (3) 是 x0 的 δ 邻域，一般，ε 越小，δ 也越小。 对给定的 ε ， 相应的 δ 不唯一。 ∴不一定要找最大的 δ 。 f (x) 在 x = x0 处 有无定义与 f (x) 当 x →x0 时 有无极限无关. x y 0 f (x) A 当 该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在 A的 ? 邻域 内， 即相应的点(x,f(x)) 落