CA李亚普诺夫稳定性.ppt

10.4 李雅普诺夫第二方法（直接法） 阻尼系统 能量 能量的导数 是否对所有系统都成立？ V(x)是向量x的标量函数，S是x空间包含原点的封闭有限区域，若对于S中的所有x，都有 V(x)对于向量x中各分量有连续的偏导数 V(0)=0 当x≠0，V(x)0 正定函数 二次型函数 Sylvester定理 当P是对称矩阵时，V(x)为正定的充分必要条件是 P的顺序主子行列式都为正 二次型函数的正定性等价于其加权矩阵P 的正定性。 实对称阵P为负定的充分必要条件是其各阶主子式满足 (i 为偶数) (i 为奇数) 李雅普诺夫稳定性定理 给定一个定常系统的运动方程和平衡状态，若对该系统可以找到单值标量函数V(x)，且V(x)对各状态分量均具有一阶连续偏导数，若成立 V(x)正定 V`(x)负定 则xe=0是局部渐近稳定的平衡状态，称V(x)是系统的一个李雅普诺夫函数 系统的原点平衡状态为大范围渐近稳定 放宽后的条件 直观理解 系统的运动伴随能量的变化,若能使系统能量变化的速率始终为负(能量为单调减少),系统的受扰运动最终会回到平衡状态. x1 x2 说明 普适性(线性\非线性\时变) 直观性(广义能量) 函数的选取缺少有效方法 充分条件(若找不到李氏函数,不意味不稳定) 不稳定的判别定理 对LTI 自治系统,若可构造标量函数V(x),V(0)=0,以及围绕状态空间原点的一个区域,使对所有非零状态x满足 V(x)为正定 V`(x)为正定 则系统原点平衡状态x=0为不稳定 例 原点(x1=0,x2=0)是唯一的平衡状态 正定函数 10.5 连续时间线性系统状态稳定性判据 对n维LTI系统,原点平衡状态xe=0是渐近稳定的充分必要条件为,对任给一个n*n正定对称矩阵Q,李亚普诺夫方程有唯一正定对称解阵P 说明 Q常取为对角阵或单位阵 其实质是给出了矩阵A的特征值具有负实部的充要条件 其意义主要用于理论推导和分析 例 判断稳定性 10.6 外部稳定性和内部稳定性（了解） LTI系统BIBO稳定 传递函数矩阵G(s)所有极点均具有负实部 外部稳定性 BIBO稳定性 内部稳定性 由任意时刻t0的非零初始状态x0引起的状态零输入响应为有界,且成立 LTI系统内部稳定 LTI系统内部稳定的充要条件 状态矩阵A的所有特征值λi 均具有负实部 内部稳定性和外部稳定性关系 内部稳定 外部稳定 外部稳定 内部稳定 系统BIBO稳定只意味着其能控能观部分为渐近稳定 结论 若线性定常系统为能控和能观，则其内部稳定性和外部稳定性是等价的。 第10讲 李雅普诺夫稳定性理论 掌握内容 李氏稳定性的概念 稳定性判别方法 Stability 自动控制系统的出现伴随着稳定性问题 10.1 稳定性研究的历史 利用微分方程进行稳定性分析 特性方程的根决定稳定性 特征方程的系数判据 稳定性研究决定了频率特性的发展 Black发明反馈放大器 Nyquist 判据 相角裕量 增益裕量 李亚普诺夫理论成为现代控制理论与非线性控制的重要基础 1892年，发表“论稳定性的一般问题” 线性系统 非线性系统 天遇：混沌与稳定性的起源 10.2 稳定性的概念与定义 平衡稳定性 扰动运动微分方程 无阻尼下垂摆 阻尼下垂摆 倒立摆 定义 平衡点：状态xe称为系统的一个平衡点，如果一旦x(t)=xe,则此后状态永远停留在xe. 平衡点满足方程 对线性时不变系统 对于孤立平衡状态，总可以经过适当的坐标平移变换，将它变换到状态空间原点。因此，经常以原点作为平衡状态来讨论系统的稳定性。 李雅普诺夫意义下的稳定 如果对任一实数ε0,都对应地存在一个实数δ(ε，t0)0,使得由满足不等式 ||x0-xe||≤δ(ε,t0) 的任一初始状态x0出发的受扰运动都满足不等式 ||Φ(t;x0,t0)-xe||≤ε 则称xe在李雅普诺夫意义下稳定。 x0 xe S(ε) S(δ) Φ(t) 任给 存在 一致稳定 若上述δ的选取只与ε有关，而和t0无关，则称平衡状态是一致稳定。 渐近稳定 孤立平衡状态xe=0在时刻t0渐近稳定， Xe是李雅普诺夫意义下稳定的（must) 相对于平衡状态xe=0满足渐近性 使系统为渐近稳定的最大区域称吸引域。 x0 xe S(ε) S(δ) Φ(t) 吸引域 不稳 全局稳定 若以状态空间的任一有限非零点为初始状态的受扰运动都有界，且成立 则系统的原点平衡状态是大范围（全局）渐近稳定。 不稳定 设系统的孤立平衡状态为xe。若对某个实数ε0和任意实数δ0,不管δ多小，在S(δ)内总会存在一个状态x0，使从x0出发的轨迹将离开S(ε),则称该孤立平衡状态是不稳定的。 x0 xe S(ε