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令 单位圆内有两个极点0.8和0.5, 应用留数定理，有 结论：比较两种情况下的最小均方误差,可以看出非物理可实现情况的最小均方误差小于物理可实现情况的均方误差。 维纳滤波部分的总结： 主要内容：FIR维纳滤波求解、非因果IIR维纳滤波求解、因果IIR维纳滤波求解； 知识点：最小均方误差准则、正交性原理、维纳－霍夫方程、白化滤波器； 结论： 在所有N阶FIR滤波器中，最优滤波器的均方误差值是最小的，从这个意义上说它是最优的； 与非最优滤波相比，最优滤波的优势在于能对滤波的质量（逼近的好坏）做出评价； E［|e(n)|2］min与Sss(z)和Svv(z)重叠部分大小有关； 最小均方误差比较：非因果IIR因果IIRFIR维纳滤波的最小均方误差 2.4 维 纳 预 测 本节讨论的主要问题及方法 预测的可能性 维纳预测的计算 纯预测 一步线性预测的时域解 1、本节讨论的主要问题及方法 讨论的主要问题：本节将讨论维纳预测器，以观测到的全部过去数据来估计当前或将来的值 解决方法：以均方误差最小为估计原则 图2.4.1(b) 维纳预测器 图2.4.1(a) 维纳滤波器 2、预测的可能性 信号可以预测是由于信号内部存在关联性。数据间关联越密切，预测越准确；完全不关联，则无法预测。 输入： 输出： x(n)在各不同时间点上的值的相关性是起因于B(z)的惯性。 由观测到的x(n)的所有过去值和当前值来估计将来值 时： 如果 ，则 仅由B(z)的惯性决定， 如果 ，则 将由B(z)的惯性和 共同决定； 随机信号预测的特点： 以信号的统计特性作为预测的主要依据； 不可能作预测误差为零的绝对精确的预测； 实际信号通常带有噪声干扰，使得预测和滤波联系在一起，成为带滤波的预测。 3、 维纳预测的计算 同理，要使预测误差的均方值为最小，须满足 其中，hk表示h(k)。 即 非因果维纳预测器的最佳解为 因果维纳预测器的最佳解为 维纳预测的最小均方误差为 维纳预测的求解和维纳滤波器的求解方法是一致的。 1、本节要解决的主要问题及方法 待解决的问题：当h(n)是物理可实现的因果序列时，所得到的Wiener-Hopf方程 将存在k≥0的约束，不能直接转到Z域求解。这使得在要求满足物理可实现条件下，求解维纳-霍夫方程成为一个十分困难的问题。 解决方法：采用将观测序列x(n)白化的方法，求解Wiener-Hopf方程的Z域解。 若不考虑滤波器的因果性，维纳－霍夫方程可以改写为 设定d(n)=s(n)，对上式两边做Z变换，得到 Sxs (z)=Hopt(z)Sxx(z) x(n)=s(n)+v(n) 假设信号和噪声不相关，即rsv(m)=0，则 Sxs (z)=Sss(z) Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z) 对于因果IIR维纳滤波器，其维纳－霍夫方程为 k=0, 1, 2, … 因为存在k≥0的约束，使得上式不能直接转到Z域求解。如有可能将其转化为非因果问题，则求解会大大简化。 如果滤波器的输入是白噪声，即x(n)= w(n)，w(n)是方差为 的白噪声，由于 则因果IIR维纳滤波器的维纳－霍夫方程变为： k=0, 1, 2, … k=0, 1, 2, … 由此可见，只要将输入信号转化为白噪声，就可以解得因果IIR维纳滤波器的单位脉冲响应。 2、白化滤波器 任何具有有理功率谱密度的随机信号都可以看成是由一白色噪声w(n)激励某个物理网络所形成。 x(n)的时间序列信号模型 一般把信号转化为白噪声的过程称为白化，对应的滤波器称为白化滤波器。 x(n)的白化滤波器 如果B(z)是一个最小相移网络函数，那么1/B(z)显然也是一个物理可实现的最小相移网络，因此可以利用上式白化x(n)。 利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程 利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程: 于是，在最小均方误差准则下，求最佳Hopt(z)的问题就归结为求最佳G(z)的问题了。G(z)当然也需分因果性或非因果性的约束情况加以讨论。 如果已知信号的Pxx(z)，即可由下式求得B(z) 。 计算Hopt (z)： 3、 非因果IIR维纳滤波器的求解 (2.3.9) 求满足最小均方误差条件下的g(k)： 为求得相对于g(k