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第1章 误差和算法选择 1.1 误差概念 ---分类、表示方法、运算、有效数字 1.2 算法选择 1.1 误差概念 什么是误差？ 在数值计算中，影响计算结果精确度的因素主要有两类： (1) 失误(过失性误差)：可避免，不作讨论 (2) 误差(非过失误差)：不可避免，需解决 误差的处理原则： 应尽量减少误差 或 将误差控制在许可范围内 1.1 误差概念--1.1.1 误差分类 按误差的来源分： 数值计算方法解决工程技术问题的一般过程 1.1 误差概念--1.1.1 误差分类 1、模型误差---① 是工程技术问题向数学模型转化过程中产生的。 建模过程中，问题通常经过假设和简化(理想化的描述)，通常是抓住主要因素而忽略将要因素，从而与实际问题有一定差异，这些差异就是模型误差。 《计算方法》不讨论模型误差。 1.1 误差概念--1.1.1 误差分类 2、测试误差(观测、测量值)---② 通过仪器、仪表测量或观测所得到的数据，与实际值之间是有差异的，这类误差称为测试误差。 《计算方法》也不讨论测试误差。 1.1 误差概念--1.1.1 误差分类 3.截断误差(方法误差)---③ 主要是指数学模型的精确解与由数值计算方法求出的近似解之间的误差。 例如： (1)将连续型问题转换为离散型算法处理； (2)用有限步运算的算法来近似代替无穷过程问题； (3)用已知的函数形式代替未知函数。 注： 截断误差是数值算法所固有的,也称为方法误差。 1.1 误差概念--1.1.1 误差分类 例：自然对数底e的理论计算公式 解：通常取前n项和作近似计算，数值计算公式为： 截断误差为： 1.1 误差概念--1.1.1 误差分类 例： 1.1 误差概念--1.1.1 误差分类 4、舍入误差--④ 用计算机编程完成数值计算过程中产生的 主要原因： 由于计算机存储器的位数是有限的，它所能存储的数的位数也是有限的，超过这个范围的数就只能采取四舍五入或全部舍去等办法来处理，这类误差称为舍入误差。 例：无理数、无限循环小数，等。 注：舍入误差经过累积，可能会变得很大。 1.1 误差概念---1.1.2 误差表示法和误差限 1、误差的表示方法 衡量和表示误差大小的方法包括： 绝对误差法 相对误差法 1.1 误差概念---1.1.2 误差表示法和误差限 【定义1】绝对误差 是指理论值(x*)与近似值(x)之差。记为： 注：① 符号问题： ② 只能体现误差值本身的大小，未能刻画出近似值的精确程度。 1.1 误差概念---1.1.2 误差表示法和误差限 【定义2】相对误差： 绝对误差 与理论值(x*)的比值 注： 由于理论值(x*)通常是未知的，故计算相对误差时，分母通常用近似值(x)代替。 1.1 误差概念---1.1.2 误差表示法和误差限 2、误差限 绝对误差限：所允许的最大绝对误差。 相对误差限：所允许的最大相对误差。 对数值计算的算法，误差限是选择的重要依据。 1.1 误差概念--1.1.3 误差计算 计算原则： （1）误差大小本身也是难以精确的，因此误差计算只能是近似计算； （2）通常，误差计算是指误差限的计算，或称为误差估计。 1.1 误差概念--1.1.3 误差计算 绝对误差的基本计算公式： 按定义式计算（需知道理论值x*） 已知相对误差时，求出绝对误差 1.1 误差概念--1.1.3 误差计算 相对误差的基本计算公式： (1)定义式： (2)近似计算公式： 注：当x0时，上式仍然适用。 1.1 误差概念--1.1.3 误差计算 【例1】 设理论值 ，取近似值 试计算其绝对误差(限)和相对误差(限)。 【解】 1.1 误差概念--1.1.3 误差计算 【例2】 (1)求 的近似值，使其绝对误差限不超过0.5×10-3。 (2)求 的近似值，使其相对误差限不超过0.01%。 1.1 误差概念--1.1.3 误差计算 【解】 (1) 设近似值为x，由绝对误差的定义有 (2) ---尝试法 1.1 误差概念--1.1.3 误差计算 四则运算中的相对误差计算： 1、积的误差 2、商的误差 1.1 误差概念--1.1.3 误差计算 3、和/差的误差 1.1 误差概念--1.1.3 误差计算 说明： 在 计算公式中的两个现象： (1)当 时，会导致