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chc数值积分与数值微分变步长算法
第四章 数值积分与数值微分 变步长算法 变步长梯形法 举例（一） 梯形法的加速 梯形法的加速（续） 龙贝格公式 Romberg 算法 举例（二） * * 第四节 变步长算法 太大 利用复合梯形公式、复合simpson公式、复合Cotes公式等计算定积分时，如何选取步长 h ？ 计算精度难以保证 太小 增加额外的计算量 解决办法：采用 变步长算法 通常采取将区间不断对分的方法，即取 n = 2k ，反复使用复合求积公式，直到相邻两次计算结果之差的绝对值小于指定的精度为止。 步长折半：[xi , xi+1/2] ， [xi +1/2 , xi+1] 将[a, b] 分成 n 等分 [xi , xi+1] ， n = 20, 21, 22, … xi xi +1 xi +1/2 解： 例：用变步长梯形公式计算积分 ，要求计算精度满足 0.946082975 9 0.946082687 8 0.946081539 7 0.946076943 6 0.946058561 5 0.945985030 4 0.945690864 3 0.944513522 2 0.939793285 1 0.920735492 0 0.946083046 10 Tn ( n =2k ) k 变步长梯形法算法简单，编程方便 梯形法的加速－－龙贝格(Romberg)算法 变步长梯形法中止依据 但收敛速度较慢。 由 来计算 效果是否会更好些？ = (4*0.945690864 - 0.944513522)/3 = 0精确值：0.946083070367… 事实上 同理可得 一般地，有 龙贝格公式 注：(1)上述加速技巧称为龙贝格求积算法； (2)每加速一次，计算精度提高二阶； (3)该技巧可以不断继续下去，但通常最多用到龙贝格公式。 ? ? ① T1 =T0 (0) ② T2 =T0 (1) ③ S1 =T1 (0) ④ T4 =T0 (2) ⑤ S2 =T1 (1) ⑥ C1 =T2 (0) ? ? ⑦ T8 =T0 (3) ⑧ S4 =T1 (2) ⑨ C2 =T2 (1) ? ? ⑩ R1 =T3 (0) 记: 例：用龙贝格算法计算 ，要求精度 00000000003 2 1 0 k 解： 逐步计算 (k) T0 2k (S ) (k) T1 (k) T2 (k) T3 2k (R ) 2k (T ) 2k (C )
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