ch对偶问题的性质.pptVIP

* Ch2 Dual Problem §2.2对偶性质 Dual Property Page * of 23 设原问题是（记为LP）： 对偶问题是（记为DP）： 这里A是m×n矩阵X是n×1列向量，Y是1×m行向量。假设Xs与Ys分别是（LP）与（DP）的松驰变量。 【性质1】 对称性 对偶问题的对偶是原问题。 【证】设原问题是 它与下列线性规划问题是等价的： 再写出它的对偶问题。 它与下列线性规划问题是等价的 即是原问题。 由表2－1知，它的对偶问题是 【性质2】 弱对偶性 设X°、Y°分别为（LP）与（DP）的可行解，则 【证】因为X°、Y°是可行解，故有AX°≤b, X°≥0及Y°A≥C，Y°≥0, 将不等式 AX°≤b 两边左乘Y° 得Y°AX°≤Y°b 再将不等式Y°A≥C两边右乘X°， 故 C X°≤Y°AX≤Y°b 这一性质说明了两个线性规划互为对偶时，求最大值的线性规划的任意目标值都不会大于求最小值的线性规划的任一目标值，不能理解为原问题的目标值不超过对偶问题的目标值。 得C X°≤Y°AX° 由这个性质可得到下面几个结论： （1）（LP）的任一可行解的目标值是（DP）的最优值下界；（DP）的任一可行解的目标是（LP）的最优值的上界； （2）在互为对偶的两个问题中，若一个问题可行且具有无界解，则另一个问题无可行解； (3）若原问题可行且另一个问题不可行，则原问题具有无界解。 注意上述结论（2）及（3）的条件不能少。一个问题有可行解时，另一个问题可能有可行解（此时具有无界解）也可能无可行解。 例如： 无可行解，而对偶问题 有可行解，由结论（3）知必有无界解。 【性质3】最优准则定理 设X°与Y°分别是（LP）与（DP）的可行解，则当X°、Y°是（LP）与（DP）的最优解当且仅当C X°= Y°b. 【证】若X°、Y°为最优解，B为（LP）的最优基，则有Y°=CBB－1，并且 当C X°= Y°b时，由性质1，对任意可行解 有 即Y°b是（DP）中任一可行解的目标值的下界，C X°是（LP）中任一可行解的目标值的上界，从而X°、Y°是最优解。 【性质4】 还可推出另一结论：若（LP）与（DP）都有可行解，则两者都有最优解，若一个问题无最优解，则另一问题也无最优解。 【证】设（LP）有最优解X°，那么对于最优基B必有 C－ CBB-1A≤0与－CBB-1≤0，即有Y°A≥C与Y°≥0， 这里Y°= CBB-1 ，从而Y°是可行解，对目标函数有 由性质3知Y°是最优解。 由性质 4 还可推出另一结论：若（LP）与（DP）都有可行解，则两者都有最优解，若一个问题无最优解，则另一问题也无最优解。 【性质5】互补松弛定理 设X°、Y°分别为（LP）与（DP）的可行解，XS和YS是它的松弛变量的可行解，则X°和Y°是最优解当且仅当 YSX°=0和Y°XS=0 【证】设X°和Y°是最优解，由性质3 ，C X°= Y°b，由于XS和YS是松弛变量，则有 A X°＋XS＝b Y°A－YS=C 将第一式左乘Y°，第二式右乘X°得 Y°A X°＋Y°XS＝Y°b Y°A X°－YS X°=C X° 显然有 Y°XS=－YS X° 又因为Y°、Xs、Ys、X°≥0，所以有 Y°XS=0和YS X°=0 成立。 反之， 当Y°XS=0和YS X°=0时，有 Y°A X°＝Y°b Y°A X°=C X° 显然有Y°b=C X°,由性质3知Y°与X°是（LP）与（DP）的最优解。证毕。 性质5告诉我们已知一个问题的最优解时求另一个问题的最优解的方法，即已知Y°求X°或已知X°求Y°。 Y°XS=0和YS X°=0 两式称为互补松弛条件。将互补松弛条件写成下式 由于变量都非负，要使求和式等于零，则必定每一分量为零，因而有下列关系： （1）当yi°0时， ，反之当 时yi°=0； 注意：对于非对称形式，性质5的结论仍然有效。 【例2.6】 已知线性规划 的最优解是 ，求对偶问题的最优解。 的最优解是 ， 求对偶问题的最优解。 【解】对偶问题是 因为X1≠0，X2≠0，所以对偶问题的第一、二个约束的松弛变量等于零，即 解此线性方程组得y1=1,y2=1,从而对偶问题的最优解为Y=（1，1），最优值w=26。 【例2.7】 已知线性规划 的对偶问题的最优解为Y=（0, -2），求原问题的最优解。 【解】对偶问题是 由y2≠0得 =0，由