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第十二章 第一节 一、常数项级数的概念 引例2. (神秘的康托尔尘集) 定义： 例1. 讨论等比级数 例2. 判别下列级数的敛散性: 例3. 二、无穷级数的基本性质 性质2. 设有两个收敛级数 性质3. 性质4. 三、级数收敛的必要条件 注意: 例4.判断级数的敛散性: 例5. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和: 一、正项级数及其审敛法 定理2 (比较审敛法) 例1. 讨论 p 级数 2) 若 调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 例2. 定理3. (比较审敛法的极限形式) 例3. 判别级数 定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) (2) 当 例5. 讨论级数 *定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 说明 : 例6. 证明级数 二 、交错级数及其审敛法 用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: 三、绝对收敛与条件收敛 定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 . 例7. 证明下列级数绝对收敛 : 内容小结 3. 任意项级数审敛法 思考与练习 备用题 2. 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义, 设两正项级数 满足 (1) 当 0 l ∞ 时, 倍数关系 前者为强级数 前者为弱级数 由定理 2 可知 同时收敛或同时发散 ; (3) 当l = ∞时, 即 由定理2可知, 若 发散 , (1) 当0 l ∞时, (2) 当l = 0时, 由定理2 知 收敛 , 若 是两个正项级数, (1) 当 时, 两个级数同时收敛或发散 ; 2) 特别取 可得如下结论 : 对正项级数 (2) 当 且 收敛时, (3) 当 且 发散时, 也收敛 ; 也发散 . 注: 1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较. 的敛散性. ～ 的敛散性 . 解: 根据比较审敛法的极限形式知 例4. 判别级数 解: 根据比较审敛法的极限形式知 ～ 设 为正项级数, 且 则 (1) 当 (2) 当 证: (1) 收敛 , 时, 级数收敛 ; 或 时, 级数发散 . 由比较审敛法可知 因此 所以级数发散. 时 说明: 当 时,级数可能收敛也可能发散. 例如, p – 级数 但 级数收敛 ; 级数发散 . 从而 的敛散性 . 解: 根据定理4可知: 级数收敛 ; 级数发散 ; ?对任意给定的正数 ? 设 为正项 则 证明提示: 即 分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确. 级数, 且 时 , 级数可能收敛也可能发散 . 例如 , p – 级数 但 级数收敛 ; 级数发散 . 收敛于S , 似代替和 S 时所产生的误差 . 解: 由定理5可知该级数收敛 . 令 则所求误差为 并估计以部分和 Sn 近 好 则各项符号正负相间的级数 称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件: 则级数 收敛 , 且其和 其余项满足 证: 是单调递增有界数列, 又 故级数收敛于S, 且 故 收敛 收敛 收敛 上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ? 发散 收敛 收敛 定义: 对任意项级数 若 若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 收敛 , 数 为条件收敛 . 均为绝对收敛. 例如 ： 绝对收敛 ； 则称原级 数 条件收敛 . 则称原级 证: 设 根据比较审敛法 显然 收敛, 收敛 也收敛 且 收敛 , 令 证: (1) 而 收敛 , 收敛 因此 绝对收敛 . (2) 令 因此 收敛, 绝对收敛. 小结 2. 判别正项级数敛散性的方法与步骤 必要条件 不满足 发 散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收 敛 发 散 不定 比较审敛法 用它法判别 积分判别法 部分和极限 为收敛级数 Leibniz判别法: 则交错级数 收敛 概念: 绝对收敛 条件收敛 * * 目录 上页 下页 返回 结束 无穷级数 无穷级数 无穷级数是研究函数的工具 表示函数 研究性质 数值计算 数项级数 幂级数 傅氏级数 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正 边形, 这个和逼近于圆的面积 A . 设 a0 表示 即 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正 把[0,1]区间三等分, 舍弃中 间的开区间 将剩下的两个子区间分别三等分,并舍弃 在中间的开区间, 如此反复进行这种“弃中”操作,