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例2 :请在一阶逻辑中证明下述推理的正确性。 不存在能表示成分数的无理数，有理数都能表示成分数，因此，有理数都不是无理数。 解： 命题符号化： 设 F(x):x为无理数；G(x):x为有理数；H(x)：x能表示成分数。 　　 前提： ┐ ?x(F(x)∧H(x)), ?x(G(x)→H(x)) 结论： ?x(G(x)→┐F(x)) 　　 前提：??x（F(x)∧H(x)），?x（G(x)→H(x)） 结论：?x（G(x)→?F(x)） 证明: （1）??x（F(x)∧H(x)） 前提引入 （2）?x（?F(x)∨?H(x)） (1)置换规则 （3）?x（H(x)→ ?F(x)） (2)置换规则 （4）H(y)→?F(y) UI（3） （5）?x（G(x)→H(x)） 前提引入 （6）G(y)→H(y) UI（5） （7）G(y)→?F(y) (4)(6）假言三段论 （8）?x（G(x)→?F(x)） UG（7） 课堂练习： 前提： x ( F(x) → ( G(y) ∧ R(x) ) ) ，$x F(x) 结论： $ x ( F(x) ∧ R(x) ) 证明： ① $x F(x) 前提引入 ② F（c） EI ① ③ x ( F(x) → ( G(y) ∧ R(x) ) ) 前提引入 ④ F(c) → ( G(y) ∧ R(c) ) UI ③ ⑤ G(y) ∧ R(c) ② ④假言推理 ⑥ R(c) ⑤化简 ⑦ F(c) ∧ R(c) ② ⑥合取 ⑧$ x ( F(x) ∧ R(x) ) EG⑦ 本章学习了 研究一阶逻辑的必要性 一阶逻辑的基本概念及一阶命题符号化 个体词：个体常项、个体变项、个体域、全总个体域 ?谓词：谓词常项、谓词变项、特性谓词、谓词的元数 ?量词：全称量词、存在量词 一阶命题的符号化 一阶逻辑合式公式及解释 ?公式：字母表、项、原子公式、合式公式、闭式 ?约束关系：指导变项、辖域、约束出现、自由出现 ?解释、换名规则、代替规则 一阶逻辑等值式和规范型 ????? 等值的定义 ????? 命题逻辑等值式的引入 ????? 关于量词的等值式 ????命题的规范型：前束范式：存在但不唯一 一阶逻辑推理论 ????? 推理形式的定义 ????? 命题逻辑推理理论的引入 ????? 量词引入和消去规则 作业 一阶逻辑中构造下面推理的证明： 任何自然数都是整数，存在着自然数，所以存在着整数。个体域为实数集 R。  Q A * 离散数学 一阶逻辑推理理论 内容回顾 一阶逻辑合式公式及解释 一阶逻辑等值式及前束范式 例:给定解释I如下： 1.DI={2，3} 2.DI中特定元素a=2 3.DI上的函数f（x）为f（2）=3，f（3）=2； 4.DI上的谓词F（x）为 F（2）=0，F（3）=1； G（x,y）为 G（i,j）= 1 （i,j=2，3）； L（x,y）为 L（2,2）= L（3,3）=1； L（2,3）= L（3,2）=0； 求在解释I下，下列各式的真值: ?x（F（x） ∧ G（x，a）） x（F（f（x）） ∧ G（x，f（x））） ?x?yL（x，y） 回顾： 当个体域为有限集时， 如D={a1，a2…，am}， 对于任意的谓词A（x），都有: ?xA（x）? A（a1）∧A（a2）∧…∧A（am） ?xA（x）? A（a1）∨A（a2）∨…∨A（am） 3. ?x?yL（x，y） ? ?yL（2，y） ∧ ?yL（3，y） ?（L（2，2） ∨ L（2，3）） ∧ （L（3，2） ∨ L（3，3）） ?1 ∧ 1 ?1 练习：求下列公式的前束范式 ﹁(?xF(x,y) ∨?yG(x,y)) ? ??xF(x,y) ∧ ??y G(x,y) ? ?x ?F(x,y) ∧ ?y ? G(x,y) ? ?x ?F(